दूसरे क्रम के दीर्घवृत्त की रेखाएँ। दूसरे क्रम के वक्र. दीर्घवृत्त: सूत्र और समस्याएं। दीर्घवृत्त के बारे में अधिक जानकारी

प्रतिलिपि

1 अध्याय एक समतल पर दूसरे क्रम की पंक्तियाँ.1. दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय परिभाषा। दीर्घवृत्त समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिसके लिए दिए गए दो बिंदुओं F 1 और F की दूरियों का योग एक स्थिर मान a है जो F 1 और के बीच की दूरी से अधिक है। एम(, एक्स) एफ 1 ओ एफ एक्स चित्र। बिंदु एफ 1 और एफ को दीर्घवृत्त का फोकस कहा जाता है, और उनके बीच की दूरी एफएफ 1 फोकल दूरी है, जिसे सी से दर्शाया जाता है। माना बिंदु M दीर्घवृत्त से संबंधित है। खंड F1 M और F M को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। मान लीजिए F1F = c। परिभाषा के अनुसार ए > सी. आइए एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्स पर विचार करें, जिसमें फोकस एफ 1 और एफ मूल के सापेक्ष सममित रूप से एब्सिस्सा अक्ष पर स्थित हैं। इस समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त का वर्णन किया गया है विहित समीकरण: एक्स + = 1, ए बी 1

2. जहां b= a c पैरामीटर a और b को क्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष कहा जाता है। किसी दीर्घवृत्त की विलक्षणता संख्या ε होती है, जो उसकी फोकल दूरी के अर्ध-प्रमुख अक्ष के आधे के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात। ε =. दीर्घवृत्त की विलक्षणता असमानताओं 0 ε को संतुष्ट करती है< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 अतिपरवलय के विहित समीकरण का रूप x a = b 1 होता है। जहाँ b= c a संख्याएँ a और b क्रमशः हाइपरबोला के वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्ष कहलाती हैं। अंकों की असमानता द्वारा परिभाषित क्षेत्र के अंदर कोई अतिपरवलय नहीं है। एक्स ए बी परिभाषा. हाइपरबोला के अनंतस्पर्शी समीकरण = x, = x द्वारा दी गई सीधी रेखाएँ b b हैं। a a हाइपरबोला के बिंदु M(x,) की फोकल त्रिज्या सूत्र r 1 = ε x a, r = ε x+ a का उपयोग करके पाई जा सकती है। हाइपरबोला की विलक्षणता, जैसे कि दीर्घवृत्त के लिए, सूत्र ε = द्वारा निर्धारित की जाती है। यह जांचना आसान है कि हाइपरबोला की विलक्षणता के लिए असमानता ε a >1 सत्य है। परिभाषा। परवलय समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिसके लिए किसी दिए गए बिंदु F की दूरी किसी दी गई सीधी रेखा d की दूरी के बराबर होती है जो बिंदु F से नहीं गुजरती है। बिंदु F को परवलय का फोकस कहा जाता है, और सीधी रेखा d नियता है। फोकस से डायरेक्ट्रिक्स तक की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे पी द्वारा दर्शाया जाता है। डी एम (एक्स,) एफ एक्स चित्र। 4 3

4 आइए खंड एफडी के मध्य में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल ओ को चुनें, जो बिंदु एफ से सीधी रेखा डी पर गिराया गया एक लंबवत है। इस समन्वय प्रणाली में, फोकस F के निर्देशांक F p p ;0 हैं, और नियता d समीकरण x + = 0 द्वारा दी गई है। एक परवलय का विहित समीकरण है: = px। परवलय, OF अक्ष के प्रति सममित होता है, जिसे परवलय का अक्ष कहा जाता है। परवलय के साथ इस अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु O को परवलय का शीर्ष कहा जाता है। बिंदु M(x,) की फोकल त्रिज्या अर्थात इसकी फोकस से p दूरी सूत्र r = x+ द्वारा ज्ञात की जाती है। 10B.. दूसरे क्रम की रेखा का सामान्य समीकरण दूसरे क्रम की रेखा समतल में बिंदुओं का एक समूह है जिसके निर्देशांक x हैं और जो समीकरण a x + a x+ a + a x+ a + a =0, 11 को संतुष्ट करते हैं। 1 जहां a11, a1, a, a10, a0, a00 कुछ वास्तविक संख्याएं हैं, और a, a, a एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस समीकरण को सामान्य द्वितीय क्रम वक्र समीकरण कहा जाता है और इसे वेक्टर रूप rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0 में भी लिखा जा सकता है, जहां 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10; a0) , x = (x;). T चूँकि A = A, तो A द्विघात रूप का एक मैट्रिक्स है r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a दीर्घवृत्त, हाइपरबोला और परवलय समतल में दूसरे क्रम के वक्रों के उदाहरण हैं। उपरोक्त वक्रों के अलावा, अन्य प्रकार के दूसरे क्रम के वक्र भी हैं जो x सीधी रेखाओं से जुड़े हैं। तो, उदाहरण के लिए, समीकरण = 0, जहां ए 0, बी 0, ए बी 4

5 समतल पर प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी को परिभाषित करता है। समन्वय प्रणालियाँ जिनमें वक्र का समीकरण सबसे सरल रूप लेता है, विहित कहलाते हैं। परिवर्तनों की संरचना का उपयोग करते हुए: कोण α द्वारा अक्षों का घूमना, बिंदु (x0; 0) पर निर्देशांक की उत्पत्ति का समानांतर अनुवाद और भुज अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब, दूसरे क्रम के वक्र का समीकरण एक में कम हो जाता है विहित समीकरणों में से, जिनमें से मुख्य ऊपर सूचीबद्ध थे। 11Bउदाहरण 1. एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण बनाएं जिसका केंद्र मूल बिंदु पर हो और नाभि भुज अक्ष पर स्थित हो, यदि यह ज्ञात हो कि इसकी विलक्षणता ε = और बिंदु N(3;) तीसरे दीर्घवृत्त पर स्थित है। x a b दीर्घवृत्त का समीकरण: + = 1. हमारे पास वह = है। a b a 3 9 यहां से हम गणना करते हैं कि a = b. बिंदु N(3;) के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें + = 1 और फिर b = 9 और a b 81 a = = 16 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण 5 अतिपरवलय और विलक्षणता का ε =. x अतिपरवलय का विहित समीकरण = 1। समानता a b a + b = से हमारे पास b = a 5 9 है। इसलिए = 1 और a =16। इसलिए, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण = a a x 16 5

6 3. परवलय पर बिंदु खोजें = 10x जिसका फोकल त्रिज्या 1.5 है। ध्यान दें कि परवलय दाहिने आधे तल में स्थित है। यदि M (x; परवलय पर स्थित है, तो x 0. पैरामीटर p = 5. मान लीजिए (;)) M x वांछित बिंदु है, F फोकस है, () परवलय की नियता है। फिर एफ,5; 0, डी: x=.5. चूँकि FM = ρ(M, d), तो x +.5 = 1.5, 10 उत्तर: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. तो, हमें दो अंक मिले। एम 10; 10 एम, () 4. समीकरण x = 1 द्वारा दिए गए हाइपरबोला की दाहिनी शाखा पर, एक बिंदु खोजें जिसकी दाएं फोकस से दूरी 16 9 है जो बाएं फोकस से इसकी दूरी से दो गुना कम है। हाइपरबोला की दाहिनी शाखा के लिए, फोकल त्रिज्या सूत्र r 1 = ε x a और r = ε x + a द्वारा निर्धारित की जाती है। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण ε x + a = (ε x a) प्राप्त होता है। किसी दिए गए हाइपरबोला के लिए a = 4, 5 c = = 5 और ε =। इसलिए, x = 9.6. इसलिए हमारे पास =± x 16 =± d उत्तर: दो बिंदु M 1 (9.6; 0.6 119), (9.6; 0.6 119) M. 5. किसी भी बिंदु के लिए रेखा का समीकरण ज्ञात करें जिसकी दूरी का अनुपात बिंदु F (3;0) से सीधी रेखा 1 x 8= 0 की दूरी ε = के बराबर है। लाइन का नाम और उसके पैरामीटर निर्दिष्ट करें। एमएक्स; वांछित रेखा, समानता सत्य है: एक मनमाना बिंदु के लिए () एफएम (x 3) + 1 = =। ρ(एमएल,) x 8 6

7 यहाँ से हमारे पास [(x 3) + ] = (x 8) है। कोष्ठक खोलने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (x+) + = 50, अर्थात प्राप्त होता है। (x+) + = उत्तर: आवश्यक रेखा एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र एक बिंदु पर है और अर्ध-अक्ष a = 5 और b = अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करें पुराने निर्देशांक O () x ; 0 ; ;, ;. नए सिस्टम में C(;0) = 8 (x ;) और नए (zt ;) मैट्रिक्स समानता 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t से संबंधित हैं। इसका मतलब है कि समीकरण x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. उत्तर: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 से विहित 7. वक्र को विहित रूप में लाएँ। नए निर्देशांक में द्विघात रूप पर विचार करें () q x, = 4x 4x+। 4 प्रपत्र q के मैट्रिक्स में eigenvalues 5 और 0 और संबंधित ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर हैं और आइए हम एक नई समन्वय प्रणाली पर आगे बढ़ें: 7

8 ज़ेड 1 1 एक्स. t = 5 1 पुराने निर्देशांक (x;) को नए निर्देशांक (zt) के माध्यम से व्यक्त करें; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t का अर्थ है, x = z+ t, = z+ t संकेतित भावों को वक्र γ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t प्राप्त होता है। = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. इसका मतलब है कि नए निर्देशांक में वक्र γ समीकरण 1 3 द्वारा दिया गया है γ: z z =. = z, x = t सेट करने पर, हम γ: =, 1 प्राप्त करते हैं जिससे हम वक्र का विहित समीकरण पाते हैं γ: = 0 विहित निर्देशांक में = 5 x 1 1 x ध्यान दें कि वक्र γ समानांतर रेखाओं का एक युग्म है। 1बीआर्थिक और वित्तीय समस्याओं के परिशिष्ट 8. बता दें कि आन्या, बोरिस और दिमित्री प्रत्येक के पास फल खरीदने के लिए 150 रूबल हैं। यह ज्ञात है कि 1 किलोग्राम नाशपाती की लागत 15 मौद्रिक इकाइयाँ होती हैं, और 1 किलोग्राम सेब की लागत 10 मौद्रिक इकाइयाँ होती हैं। इसके अलावा, तीनों में से प्रत्येक 8

9 का अपना उपयोगिता कार्य है जिसके लिए वह खरीदारी पर अधिकतम प्रदान करना चाहता है। मान लीजिए x1 किग्रा नाशपाती और x किग्रा सेब खरीदे गए। ये उपयोगिता कार्य इस प्रकार हैं: अन्या के लिए u = x + x, बोरिस के लिए 1 A 1 x u B = +x और दिमित्री के लिए ud = x1 x। आन्या, बोरिस और दिमित्री के लिए एक खरीद योजना (x1, x) ढूंढना आवश्यक है, जिसके तहत वे अपने उपयोगिता फ़ंक्शन को अधिकतम प्रदान करते हैं। एक्स चित्र. 5 विचाराधीन समस्या को ज्यामितीय रूप से हल किया जा सकता है। इस समस्या को हल करने के लिए एक लेवल लाइन की अवधारणा पेश की जानी चाहिए। x x 1 चित्र। 6 किसी फ़ंक्शन की स्तर रेखा z = f(x,) उस तल पर सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिस पर फ़ंक्शन h के बराबर एक स्थिर मान बनाए रखता है। x 9

10 इस मामले में, समाधान के लिए, रैखिक असमानताओं द्वारा निर्दिष्ट विमान पर ज्यामितीय क्षेत्रों के बारे में प्रारंभिक विचारों का भी उपयोग किया जाएगा (उपधारा 1.4 देखें)। x x 1 चित्र। 7 फ़ंक्शंस ua, u B और u D की स्तर रेखाएँ क्रमशः अन्या, बोरिस और दिमित्री के लिए सीधी रेखाएँ, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय हैं। समस्या के अर्थ के अनुसार, हम मानते हैं कि x1 0, x 0. दूसरी ओर, बजट बाधा को असमानता 15x1+ 10x 150 के रूप में लिखा जाता है। अंतिम असमानता को 10 से विभाजित करने पर, हमें 3x1+ x 30, या + 1 मिलता है यह देखना आसान है कि x1 x इस असमानता के समाधान का क्षेत्र है, गैर-नकारात्मकता की शर्तों के साथ एक त्रिभुज है जो रेखाओं x1 = 0, x = 0 और 3x1+ x = से घिरा है।

11 एक्स * एक्स * चित्र। 8 चित्र. 9 ज्यामितीय रेखाचित्रों के आधार पर, अब यह स्थापित करना आसान है कि uamax = ua(0.15) = 15, ubmax = ub(0.15) = 5 और udmax = ud(Q)। बजट त्रिभुज की भुजा के स्तर पर हाइपरबोला की स्पर्शरेखा के बिंदु Q के निर्देशांक की विश्लेषणात्मक गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि बिंदु Q तीन समीकरणों को संतुष्ट करता है: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =। x1 X * चित्र।

12 समीकरणों से h को हटाकर, हम बिंदु Q= (x, x) = (5;7,5) के निर्देशांक प्राप्त करते हैं। 1 उत्तर: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. कंपनी की लागत और मुनाफे का नॉनलाइनियर मॉडल। मान लीजिए कि एक फर्म क्रमशः x मात्रा और आउटपुट की इकाइयों में दो प्रकार A और B के बहुउद्देश्यीय उपकरण का उत्पादन करती है। इस मामले में, वर्ष के लिए कंपनी की आय आय फ़ंक्शन Rx (,) = 4x+ द्वारा व्यक्त की जाती है, और उत्पादन लागत लागत फ़ंक्शन 1 1 Cx (,) = 7.5+ x + 4 द्वारा व्यक्त की जाती है जिसमें कंपनी को अधिकतम प्राप्त होता है लाभ.. 3 पर उत्पादन योजना (x, ) निर्धारित करें

13 लाभ फलन आय फलन और लागत फलन के बीच अंतर के रूप में बना है: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7.5 x. 4 परिवर्तन करने के बाद, हम अंतिम अभिव्यक्ति को 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1) के रूप में घटाते हैं। 4 लाभ फलन के लिए स्तर रेखाएँ (x 8) (1) = h जैसी दिखती हैं। 4 प्रत्येक स्तर रेखा 0 h 9 मूल बिंदु पर केन्द्रित एक दीर्घवृत्त है। परिणामी अभिव्यक्ति से यह देखना आसान है कि लाभ फलन की अधिकतम सीमा 9 है और इसे x = 8, = 1 पर प्राप्त किया जाता है। उत्तर: x = 8, = 1. 13Bव्यायाम और परीक्षण प्रश्न.1. किसी वृत्त का सामान्य समीकरण लिखिए। वृत्त के केंद्र और त्रिज्या के निर्देशांक ज्ञात करें: a) x + + 8x 6=0; बी) एक्स एक्स = 0... बिंदुओं एम 1 (1;), एम (0; 1), एम 3 (3;0)..3 से गुजरने वाले एक वृत्त के लिए एक समीकरण लिखें। एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करें और उसका विहित समीकरण लिखें। एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखें यदि 1 इसकी विलक्षणता ε = के बराबर है, और अर्धप्रमुख अक्ष बराबर है एक दीर्घवृत्त का एक समीकरण लिखें जिसका केंद्रबिंदु मूल के बारे में सममित रूप से कोटि अक्ष पर स्थित है, इसके अलावा, यह जानते हुए कि दूरी इसकी नाभियों के बीच c = 4 है और विकेन्द्रता ε = एक दीर्घवृत्त की विकेन्द्रता का निर्धारण दीजिए। दीर्घवृत्त की विलक्षणता ज्ञात कीजिए यदि इसका अर्धप्रमुख अक्ष इसके लघु अक्ष का चार गुना है। 33

14.6. हाइपरबोला को परिभाषित करें और इसका विहित समीकरण लिखें। बिंदु M (0; 0.5) और समीकरण = 1 द्वारा दिए गए हाइपरबोला के दाएं शीर्ष के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है। रेखा और अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। अतिपरवलय की विलक्षणता को परिभाषित करें। यदि a = 1, b = 5 हो तो इसका विहित समीकरण लिखिए। इस अतिपरवलय की विलक्षणता क्या है?.8. अपने विहित समीकरण द्वारा दिए गए अतिपरवलय के अनंतस्पर्शियों के लिए समीकरण लिखें। हाइपरबोला 3 के लिए एक समीकरण लिखें यदि इसके अनंतस्पर्शी समीकरण =± x द्वारा दिए गए हैं और हाइपरबोला 5 बिंदु M (10; 3 3)..9 से होकर गुजरता है। परवलय को परिभाषित करें तथा उसका विहित समीकरण लिखें। एक परवलय का विहित समीकरण लिखें यदि x-अक्ष इसकी समरूपता की धुरी है, इसका शीर्ष मूल बिंदु पर स्थित है और ऑक्स अक्ष के लंबवत परवलय की जीवा की लंबाई 8 है, और शीर्ष से इस जीवा की दूरी है परवलय = 1x पर, एक बिंदु ढूंढें जिसका फोकल त्रिज्या प्रस्ताव है और कुछ उत्पाद की मांग फ़ंक्शन p = 4q 1, p = + द्वारा दी गई है। बाज़ार संतुलन बिंदु ज्ञात करें। 1 क्यू ग्राफ़ बनाएं..1. एंड्री, कात्या और निकोले संतरे और केले खरीदने जा रहे हैं। X1 किलो संतरे और x किलो केले खरीदें। तीनों में से प्रत्येक का अपना उपयोगिता कार्य है, जिससे पता चलता है कि वह अपनी खरीदारी को कितना उपयोगी मानता है। ये उपयोगिता फलन हैं: एंड्री के लिए u = x + x, कट्या के लिए 1 4 A 4 1 u K = x + x और निकोले के लिए un = x1 x। ए) स्तर मान एच = 1, 3 के लिए उपयोगिता फ़ंक्शन की स्तर रेखाओं का निर्माण करें। बी) प्रत्येक के लिए, खरीद के लिए प्राथमिकता के क्रम में व्यवस्थित करें आर = (4,1), एस = (3,8), टी = (1,1 ). 34

विश्लेषणात्मक ज्यामिति मॉड्यूल. समतल पर और अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति व्याख्यान 7 सार समतल पर दूसरे क्रम की रेखाएँ: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय। परिभाषा, सामान्य विशेषताएँ।

व्याख्यान संख्या 15. दूसरे क्रम के वक्र. 1.वृत्त... 1.दीर्घवृत्त... 1 3.अतिपरवलय.... 4.परवलय.... 4 1.वृत्त दूसरे क्रम का वक्र एक रेखा है जिसे दूसरे डिग्री के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है

8 दूसरे क्रम के वक्र 81 वृत्त एक बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह, जिसे केंद्र कहा जाता है, दूरी पर जिसे त्रिज्या कहा जाता है, एक वृत्त कहलाता है मान लीजिए वृत्त का केंद्र है

व्याख्यान 13 विषय: दूसरे क्रम के वक्र समतल पर दूसरे क्रम के वक्र: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय। उनके ज्यामितीय गुणों के आधार पर दूसरे क्रम के वक्रों के लिए समीकरणों की व्युत्पत्ति। दीर्घवृत्त के आकार का अध्ययन,

व्याख्यान दूसरे क्रम की रेखाएं हाइपरबोला उदाहरण के तौर पर, हम एक वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त और वृत्त को परिभाषित करने वाले समीकरण पाएंगे। एक वृत्त किसी दिए गए विमान से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह है।

दूसरे क्रम के वक्र वृत्त दीर्घवृत्त अतिपरवलय परवलय एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को समतल पर निर्दिष्ट करें। दूसरे क्रम का वक्र उन बिंदुओं का एक समूह है जिनके निर्देशांक संतुष्ट होते हैं

अंतरिक्ष में सीधी रेखा और समतल रैखिक बीजगणित (व्याख्यान 11) 11/24/2012 2 / 37 अंतरिक्ष में सीधी रेखा और समतल दो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y) के बीच की दूरी 2, जेड 2)

शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय रूसी संघयारोस्लाव राज्य विश्वविद्यालय के नाम पर रखा गया। पी. जी. डेमिडोवा बीजगणित और गणितीय तर्क विभाग द्वितीय क्रम वक्र भाग I पद्धति संबंधी निर्देश

3. हाइपरबोला और इसके गुण परिभाषा 3.. हाइपरबोला एक वक्र है जो कुछ आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में समीकरण 0. (3.) और समानता (3.) द्वारा परिभाषित एक विहित समीकरण कहलाता है

व्यावहारिक पाठ 1 विषय: अतिपरवलय योजना 1 अतिपरवलय की परिभाषा और विहित समीकरण अतिपरवलय के ज्यामितीय गुण अतिपरवलय की सापेक्ष स्थिति और उसके केंद्र से गुजरने वाली एक रेखा अनंतस्पर्शी

व्याख्यान नोट्स 13 दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय 0. व्याख्यान योजना व्याख्यान दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय। 1. दीर्घवृत्त. 1.1. दीर्घवृत्त की परिभाषा; 1.2. विहित समन्वय प्रणाली की परिभाषा; 1.3. समीकरण की व्युत्पत्ति

मॉड्यूल दीर्घवृत्त हाइपरबोला परवलय व्यावहारिक पाठ विषय: दीर्घवृत्त योजना एक दीर्घवृत्त की परिभाषा और विहित समीकरण एक दीर्घवृत्त के ज्यामितीय गुण विलक्षणता एक दीर्घवृत्त के आकार की विलक्षणता पर निर्भरता

दूसरा कार्य 1. समतल पर सीधी रेखा। 1. दो रेखाएँ सदिश समीकरण (, rn) = D और r= r + a, और (an,) 0 द्वारा दी गई हैं। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की त्रिज्या सदिश ज्ञात कीजिए। 0 टी. त्रिज्या सदिश के साथ एक बिंदु M 0 दिया गया है

दूसरे क्रम के वक्र. परिभाषा: दूसरे क्रम की एक वक्र रेखा विमान के बिंदुओं का एक सेट (एम) है, कार्टेशियन निर्देशांक एक्स, वाई) जो दूसरे डिग्री के बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करता है:

समतल पर बीजगणितीय रेखाएँ... प्रथम क्रम की रेखाएँ (तल पर रेखाएँ... समतल पर रेखाओं के समीकरणों के मूल प्रकार। किसी दी गई रेखा पर लंबवत एक गैर-शून्य वेक्टर n को सामान्य कहा जाता है

दीर्घवृत्त और उसके गुण परिभाषा.. दीर्घवृत्त एक दूसरे क्रम का वक्र है जिसे कुछ आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में समीकरण b, b 0 द्वारा परिभाषित किया गया है। (.) समानता (.) को विहित कहा जाता है

0.5 सेटग्रे0 0.5 सेटग्रे1 1 व्याख्यान 9 दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय 1. दीर्घवृत्त का विहित समीकरण परिभाषा 1. एक दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदु M का ज्यामितीय स्थान है, प्रत्येक से दूरियों का योग

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान के विश्लेषणात्मक ज्यामिति वर्गीकरण के तत्व एक विमान का एक वेक्टर समीकरण लिखें और इस समीकरण में शामिल मात्राओं का अर्थ बताएं एक विमान का एक सामान्य समीकरण लिखें

पाठ 12 दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय। विहित समीकरण. एक दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदु M का ज्यामितीय स्थान है जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं F 1 और F 2 से दूरियों का योग कहा जाता है

रैखिक बीजगणित व्याख्यान दूसरे क्रम के वक्रों के समीकरण वृत्त परिभाषा एक वृत्त एक बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है, दूरी r पर

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विकल्प 1 1 बिंदु M 1 (18) और M (1) से गुजरने वाली रेखा का ढलान k ज्ञात करें; एक सीधी रेखा के समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखें शीर्ष A वाले त्रिभुज की भुजाओं और माध्यिकाओं के समीकरण बनाएं()

परीक्षा। दिए गए आव्यूह A, B और D. AB 9D ज्ञात करें यदि: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 आव्यूह A 3 और B 3 को गुणा करें। परिणामी होगा आकार 3 3 का C हो, जिसमें तत्व शामिल हों

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मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी का नाम एन.ई. के नाम पर रखा गया। बॉमन मौलिक विज्ञान संकाय गणितीय मॉडलिंग विभाग ए.एन. कासिकोव,

अध्याय 5. विश्लेषणात्मक ज्यामिति 5.. एक समतल पर एक रेखा का समीकरण F(x, y) 0 के रूप का एक समीकरण एक रेखा का समीकरण कहलाता है यदि यह समीकरण किसी दिए गए समतल पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है

बालाकोवो इंजीनियरिंग और प्रौद्योगिकी संस्थान - उच्च शिक्षा के संघीय राज्य स्वायत्त शैक्षणिक संस्थान की शाखा "राष्ट्रीय अनुसंधान परमाणु विश्वविद्यालय "एमईपीएचआई"

दूसरे क्रम की पंक्तियाँ यू. एल. कालिनोव्स्की उच्च गणित विभाग विश्वविद्यालय "डुबना" योजना 2 3 4 5 6 7 दूसरे क्रम की पंक्तियाँ: उन बिंदुओं का स्थान जिनके कार्टेशियन निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं

44. अतिशयोक्ति परिभाषा. हाइपरबोला समतल पर उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक एक उपयुक्त समन्वय प्रणाली में समीकरण 2 2 y2 = 1, (1) b2 को संतुष्ट करते हैं, जहां, b > 0. यह समीकरण

रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति विषय: दूसरे क्रम के वक्र (जारी) व्याख्याता ई.जी. पखोमोवा 01 4. सामान्य परिभाषादीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय परिभाषा। सीधी रेखाएँ a m सीधी रेखाएँ कहलाती हैं

1 व्याख्यान 1.4. दूसरे क्रम के वक्र और सतहें सार: परिभाषाओं से वक्रों के विहित समीकरण प्राप्त होते हैं: दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय। दीर्घवृत्त और हाइपरबोला के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं।

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान उच्च व्यावसायिक शिक्षा "साइबेरियाई राज्य औद्योगिक विश्वविद्यालय"

व्यावहारिक कार्यदूसरे क्रम की रेखाओं और वक्रों के समीकरण बनाना कार्य का उद्देश्य: दूसरे क्रम की रेखाओं और वक्रों के समीकरण बनाने की क्षमता को समेकित करना कार्य की सामग्री। बुनियादी अवधारणाओं। बी सी 0 वेक्टर

छूटी हुई कक्षाओं को बनाने का कार्य सामग्री विषय: मैट्रिक्स, उन पर क्रियाएं। निर्धारकों की गणना.... 2 विषय: व्युत्क्रम मैट्रिक्स। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करना। सूत्रों

विश्लेषणात्मक ज्यामिति 5.. समतल पर सीधी रेखा समतल पर सीधी रेखा को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके। समतल पर एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण. समन्वय प्रणाली के सापेक्ष रेखा का स्थान। ज्यामितीय अर्थ

विकल्प 11 1 बिंदु M() बिंदु N(1-1) से रेखा l पर डाले गए लंब का आधार है। रेखा l का समीकरण लिखें; बिंदु N से रेखा l तक की दूरी ज्ञात करें, गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण बनाएं

49. बेलनाकार और शंक्वाकार सतह 1. बेलनाकार सतह परिभाषा. मान लीजिए अंतरिक्ष में एक रेखा l और एक शून्येतर सदिश a दिया गया है। सभी संभव माध्यमों से गुजरने वाली सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित एक सतह

विश्लेषणात्मक ज्यामिति समतल पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति। विश्लेषणात्मक ज्यामिति बीजगणित का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं का समाधान है, जिसके लिए समन्वय विधि का उपयोग किया जाता है। विमान पर समन्वय प्रणाली के तहत

विकल्प 1 कार्य 1. दीर्घवृत्त की ज्यामितीय परिभाषा दीजिए। समस्या 2. डैंडेलिन गेंदों का उपयोग करके सिद्ध करें कि एक दीर्घवृत्त एक शंकु खंड के रूप में उत्पन्न होता है। समस्या 3. सिद्ध कीजिए कि बिंदुओं का समुच्चय P जिसमें से

सेकेवा एल.आर., टायुलेनेवा ओ.एन. विमान पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति कज़ान 008 0 कज़ान राज्य विश्वविद्यालय सामान्य गणित विभाग सेकेवा एल.आर., टायुलेनेवा ओ.एन. विमान पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, कज़ान स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ़ आर्किटेक्चर एंड सिविल इंजीनियरिंग, उच्च गणित विभाग, वेक्टर और रैखिक बीजगणित के तत्व। विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

समतल पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति एक रेखा का समीकरण विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है। वाई एम(एक्स, वाई) 0 एक्स परिभाषा। ऑक्सी तल पर एक रेखा (वक्र) का समीकरण किसके लिए समीकरण है

एलए गाऊसी विधि में बुनियादी समस्याओं के नमूने रैखिक समीकरणों की कुछ प्रणालियाँ गाऊसी विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 गाऊसी विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें 6

विकल्प 16 1 बिंदु M 1 (3 4) और M (6) से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है। निर्देशांक अक्षों के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। उस त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण बनाइए जिसके लिए बिंदु A (1) हैं। ) बी (3 1) सी (0 4) हैं

परीक्षण 3 विकल्प 1 एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें जो लंबवत है और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है और .. बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें और बिंदु से दूरी ज्ञात करें

समतल पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्व। सीधी रेखा 1. एक त्रिभुज की परिधि की गणना करें जिसके शीर्ष बिंदु A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5) हैं। 2. बिंदु A(7;) से समान दूरी पर एक बिंदु खोजें।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति मॉड्यूल 1 मैट्रिक्स बीजगणित वेक्टर बीजगणित पाठ 5 (स्वतंत्र अध्ययन) सार कार्तीय समतल और अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली दूरी के लिए सूत्र

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विमान का विश्लेषणात्मक ज्यामिति सामान्य समीकरण। ओपीआर एक समतल एक सतह है जिसमें यह गुण होता है कि यदि एक रेखा पर दो बिंदु समतल के हैं, तो रेखा के सभी बिंदु इस समतल के हैं।

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अध्याय 1 सीधी रेखाएं और समतल एन आर 1.1. बिंदु स्थान पहले हमने स्ट्रिंग्स के अंकगणितीय स्थान को देखा था। गणित में, निर्देशांक के एक सीमित आदेशित सेट की न केवल व्याख्या की जा सकती है

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में परीक्षण असाइनमेंट। सेमेस्टर 2. विकल्प 1 1. रेखा 5x 12y + 1 = 0 के समानांतर वृत्त (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4 की स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए। 2. का समीकरण लिखिए स्पर्शरेखा

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दूसरे क्रम की सतहें। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सतह का वर्णन F(x; y; z) = 0 या z = f(x; y) रूप के समीकरण द्वारा किया जाता है। दो सतहों का प्रतिच्छेदन अंतरिक्ष में एक रेखा को परिभाषित करता है, अर्थात। अंतरिक्ष में रेखा

11.1. बुनियादी अवधारणाओं

आइए वर्तमान निर्देशांक के सापेक्ष दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें

समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन A, B, या C में से कम से कम एक संख्या शून्येतर है। ऐसी रेखाओं को दूसरे क्रम की रेखाएँ (वक्र) कहा जाता है। नीचे यह स्थापित किया जाएगा कि समीकरण (11.1) समतल पर एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय या परवलय को परिभाषित करता है। इस कथन पर आगे बढ़ने से पहले, आइए सूचीबद्ध वक्रों के गुणों का अध्ययन करें।

11.2. घेरा

दूसरे क्रम का सबसे सरल वक्र एक वृत्त है। याद रखें कि एक बिंदु पर केंद्र के साथ त्रिज्या R का एक वृत्त, स्थिति को संतुष्ट करने वाले विमान के सभी बिंदुओं M का समुच्चय है। मान लीजिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु के निर्देशांक x 0, y 0 और - वृत्त पर एक मनमाना बिंदु हैं (चित्र 48 देखें)।

फिर स्थिति से हमें समीकरण प्राप्त होता है

(11.2)

समीकरण (11.2) किसी दिए गए वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

समीकरण (11.2) कहा जाता है एक वृत्त का विहित समीकरण

विशेष रूप से, सेटिंग और, हम मूल बिंदु पर केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं .

सरल परिवर्तनों के बाद वृत्त समीकरण (11.2) का रूप ले लेगा। इस समीकरण की तुलना दूसरे क्रम के वक्र के सामान्य समीकरण (11.1) से करने पर, यह देखना आसान है कि एक वृत्त के समीकरण के लिए दो शर्तें संतुष्ट हैं:

1) x 2 और y 2 के गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं;

2) वर्तमान निर्देशांक के उत्पाद xy वाला कोई सदस्य नहीं है।

आइए उलटी समस्या पर विचार करें। मानों को समीकरण (11.1) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

आइए इस समीकरण को रूपांतरित करें:

(11.4)

यह इस प्रकार है कि समीकरण (11.3) शर्त के तहत एक वृत्त को परिभाषित करता है . इसका केंद्र बिंदु पर है , और त्रिज्या

अगर , तो समीकरण (11.3) का रूप है

यह एक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है . इस मामले में वे कहते हैं: "वृत्त एक बिंदु में बदल गया है" (शून्य त्रिज्या है)।

अगर , तो समीकरण (11.4), और इसलिए समतुल्य समीकरण (11.3), किसी भी रेखा को परिभाषित नहीं करेगा, क्योंकि समीकरण का दायां पक्ष (11.4) नकारात्मक है, और बायां नकारात्मक नहीं है (मान लें: "एक काल्पनिक वृत्त")।

11.3. अंडाकार

विहित दीर्घवृत्त समीकरण

अंडाकार किसी समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय, जिनमें से प्रत्येक से इस समतल के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग कहा जाता है चाल , नाभियों के बीच की दूरी से अधिक एक स्थिर मान है।

आइए हम फोकसों को इससे निरूपित करें एफ 1और एफ 2, उनके बीच की दूरी 2 है सी, और दीर्घवृत्त के एक मनमाने बिंदु से नाभि तक की दूरी का योग - 2 में ए(चित्र 49 देखें)। परिभाषा के अनुसार 2 ए > 2सी, अर्थात। ए > सी.

दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि नाभियाँ एफ 1और एफ 2अक्ष पर स्थित था, और मूल खंड के मध्य से मेल खाता था एफ 1 एफ 2. तब foci में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: और।

मान लीजिए दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर, दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात्।

यह, संक्षेप में, एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

आइए समीकरण (11.5) को इस प्रकार सरल रूप में बदलें:

क्योंकि ए>साथ, वह । चलो रखो

(11.6)

तब अंतिम समीकरण या का रूप लेगा

(11.7)

यह सिद्ध किया जा सकता है कि समीकरण (11.7) मूल समीकरण के समतुल्य है। यह कहा जाता है विहित दीर्घवृत्त समीकरण .

दीर्घवृत्त दूसरे क्रम का वक्र है।

किसी दीर्घवृत्त के समीकरण का उपयोग करके उसके आकार का अध्ययन करना

आइए हम इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।

1. समीकरण (11.7) में x और y केवल सम घातों में हैं, इसलिए यदि कोई बिंदु दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो बिंदु भी उसी से संबंधित हैं। इससे यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त और अक्षों के साथ-साथ उस बिंदु के संबंध में भी सममित है, जिसे दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।

2. निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। रखने पर, हमें दो बिंदु मिलते हैं और, जिस पर अक्ष दीर्घवृत्त को काटता है (चित्र 50 देखें)। समीकरण (11.7) में रखने पर, हम अक्ष के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: और। अंक ए 1 , ए 2 , बी 1, बी 2कहा जाता है दीर्घवृत्त के शीर्ष. सेगमेंट ए 1 ए 2और बी 1 बी 2, साथ ही उनकी लंबाई 2 एऔर 2 बीतदनुसार बुलाया जाता है प्रमुख और लघु अक्षदीर्घवृत्त. नंबर एऔर बीक्रमशः बड़े और छोटे कहलाते हैं धुरा शाफ्टदीर्घवृत्त.

3. समीकरण (11.7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि बायीं ओर का प्रत्येक पद एक से अधिक नहीं है, अर्थात्। असमानताएँ और या और घटित होती हैं। परिणामस्वरूप, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित आयत के अंदर स्थित होते हैं।

4. समीकरण (11.7) में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग एक के बराबर है। नतीजतन, जैसे-जैसे एक पद बढ़ता है, दूसरा घटता जाएगा, यानी यदि यह बढ़ता है, तो यह घटता है और इसके विपरीत।

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र में दिखाया गया है। 50 (अंडाकार बंद वक्र).

दीर्घवृत्त के बारे में अधिक जानकारी

दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है। जब दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है, तो दीर्घवृत्त का समीकरण (11.7) रूप ले लेता है। अनुपात का उपयोग अक्सर दीर्घवृत्त के आकार को दर्शाने के लिए किया जाता है। दीर्घवृत्त की नाभि और अर्ध-प्रमुख अक्ष के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और o6o को अक्षर ε ("एप्सिलॉन") द्वारा दर्शाया जाता है:

0 के साथ<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

इससे पता चलता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, दीर्घवृत्त उतना ही कम चपटा होगा; यदि हम ε = 0 सेट करते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।

मान लीजिए M(x;y) नाभि F 1 और F 2 के साथ दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 51 देखें)। खंड F 1 M = r 1 और F 2 M = r 2 खंडों की लंबाई को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। ज़ाहिर तौर से,

सूत्र धारण करते हैं

सीधी रेखाएँ कहलाती हैं

प्रमेय 11.1.यदि दीर्घवृत्त के एक मनमाने बिंदु से किसी फोकस की दूरी है, d उसी बिंदु से इस फोकस के अनुरूप नियता की दूरी है, तो अनुपात दीर्घवृत्त की विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है:

समानता (11.6) से यह निष्कर्ष निकलता है कि। यदि, तो समीकरण (11.7) एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसका प्रमुख अक्ष ओए अक्ष पर स्थित है, और लघु अक्ष ऑक्स अक्ष पर है (चित्र 52 देखें)। ऐसे दीर्घवृत्त का फोकस बिन्दुओं और पर होता है .

11.4. अतिशयोक्ति

विहित अतिपरवलय समीकरण

अतिशयोक्ति विमान के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, उनमें से प्रत्येक से इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक कहा जाता है चाल , नाभियों के बीच की दूरी से कम एक स्थिर मान है।

आइए हम फोकसों को इससे निरूपित करें एफ 1और एफ 2उनके बीच की दूरी है 2s, और हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु से लेकर नाभि तक की दूरी में अंतर का मापांक 2ए. ए-प्राथमिकता 2ए < 2s, अर्थात। ए < सी.

हाइपरबोला समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि नाभियाँ एफ 1और एफ 2अक्ष पर स्थित था, और मूल खंड के मध्य से मेल खाता था एफ 1 एफ 2(चित्र 53 देखें)। तब foci के पास निर्देशांक होंगे और

मान लीजिए कि यह अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु है। फिर, हाइपरबोला की परिभाषा के अनुसार या, यानी सरलीकरण के बाद, जैसा कि दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करते समय किया गया था, हम प्राप्त करते हैं विहित अतिपरवलय समीकरण

(11.9)

(11.10)

हाइपरबोला दूसरे क्रम की एक पंक्ति है।

हाइपरबोला के समीकरण का उपयोग करके उसके आकार का अध्ययन करना

आइए हम हाइपरबोला के कैकोनिकल समीकरण का उपयोग करके उसका रूप स्थापित करें।

1. समीकरण (11.9) में x और y केवल सम घातों में हैं। नतीजतन, हाइपरबोला अक्षों और के साथ-साथ बिंदु के बारे में सममित है, जिसे कहा जाता है अतिपरवलय का केंद्र.

2. निर्देशांक अक्षों के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। समीकरण (11.9) में रखने पर, हम अक्ष के साथ हाइपरबोला के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु पाते हैं: और। (11.9) डालने पर हमें मिलता है, जो नहीं हो सकता। इसलिए, हाइपरबोला ओए अक्ष को नहीं काटता है।

बिन्दु कहलाते हैं चोटियों अतिपरवलय, और खंड

वास्तविक अक्ष , रेखा खंड - वास्तविक अर्ध-अक्ष अतिशयोक्ति।

बिन्दुओं को जोड़ने वाला खण्ड कहलाता है काल्पनिक धुरी , संख्या बी - काल्पनिक अर्ध-अक्ष . भुजाओं वाला आयत 2एऔर 2 बीबुलाया अतिपरवलय का मूल आयत .

3. समीकरण (11.9) से यह पता चलता है कि न्यूनतम एक से कम नहीं है, अर्थात, या। इसका मतलब यह है कि हाइपरबोला के बिंदु रेखा के दाईं ओर (हाइपरबोला की दाईं शाखा) और रेखा के बाईं ओर (हाइपरबोला की बाईं शाखा) स्थित हैं।

4. हाइपरबोला के समीकरण (11.9) से यह स्पष्ट है कि जब यह बढ़ता है, तो यह बढ़ता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि अंतर एक के बराबर स्थिर मान बनाए रखता है।

ऊपर से यह निष्कर्ष निकलता है कि हाइपरबोला का रूप चित्र 54 (दो असीमित शाखाओं से युक्त एक वक्र) में दिखाया गया है।

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख

सीधी रेखा L को अनंतस्पर्शी रेखा कहते हैं असीमित वक्र K, यदि वक्र K के बिंदु M से इस सीधी रेखा की दूरी d शून्य हो जाती है, जब मूल बिंदु से वक्र K के अनुदिश बिंदु M की दूरी असीमित है। चित्र 55 एक अनंतस्पर्शी की अवधारणा का एक उदाहरण प्रदान करता है: सीधी रेखा L वक्र K के लिए एक अनंतस्पर्शी है।

आइए हम दिखाएं कि हाइपरबोला में दो अनंतस्पर्शी हैं:

(11.11)

चूँकि सीधी रेखाएँ (11.11) और हाइपरबोला (11.9) निर्देशांक अक्षों के संबंध में सममित हैं, इसलिए संकेतित रेखाओं के केवल उन बिंदुओं पर विचार करना पर्याप्त है जो पहली तिमाही में स्थित हैं।

आइए हम एक सीधी रेखा पर एक बिंदु N लें जिसका भुज x हाइपरबोला पर बिंदु के समान हो (चित्र 56 देखें), और सीधी रेखा के निर्देशांक और हाइपरबोला की शाखा के बीच अंतर ΜΝ ज्ञात करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे x बढ़ता है, भिन्न का हर बढ़ता है; अंश एक स्थिर मान है. इसलिए, खंड की लंबाई ΜΝ शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। चूँकि MΝ बिंदु M से रेखा की दूरी d से अधिक है, तो d शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। तो, रेखाएँ हाइपरबोला (11.9) की अनंतस्पर्शी हैं।

हाइपरबोला (11.9) का निर्माण करते समय, यह सलाह दी जाती है कि पहले हाइपरबोला के मुख्य आयत का निर्माण करें (चित्र 57 देखें), इस आयत के विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली सीधी रेखाएँ खींचें - हाइपरबोला के अनंतस्पर्शी और शीर्षों को चिह्नित करें और, अतिपरवलय का.

समबाहु अतिपरवलय का समीकरण.

जिसके अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्ष हैं

हाइपरबोला (11.9) को समबाहु कहा जाता है यदि इसके अर्ध-अक्ष () के बराबर हों। इसका विहित समीकरण

(11.12)

एक समबाहु अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी समीकरणों में समीकरण होते हैं और इसलिए, वे निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

आइए एक नई समन्वय प्रणाली (चित्र 58 देखें) में इस हाइपरबोला के समीकरण पर विचार करें, जो समन्वय अक्षों को एक कोण से घुमाकर पुराने से प्राप्त किया गया है। हम समन्वय अक्षों को घुमाने के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:

हम x और y के मानों को समीकरण (11.12) में प्रतिस्थापित करते हैं:

एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण, जिसके लिए ऑक्स और ओय अक्ष अनंतस्पर्शी हैं, का रूप होगा।

अतिशयोक्ति के बारे में अधिक जानकारी

सनक हाइपरबोला (11.9) हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष के मान के लिए नाभियों के बीच की दूरी का अनुपात है, जिसे ε द्वारा दर्शाया गया है:

चूँकि एक अतिपरवलय के लिए, अतिपरवलय की विलक्षणता एक से अधिक होती है:। विलक्षणता हाइपरबोला के आकार की विशेषता बताती है। वास्तव में, समानता (11.10) से यह इस प्रकार है अर्थात और .

इससे यह देखा जा सकता है कि हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, उसके अर्ध-अक्षों का अनुपात उतना ही छोटा होगा, और इसलिए उसका मुख्य आयत उतना ही अधिक लम्बा होगा।

एक समबाहु अतिपरवलय की विलक्षणता है। वास्तव में,

फोकल त्रिज्या और दाहिनी शाखा के बिंदुओं के लिए हाइपरबोलस का रूप और है, और बाईं शाखा के लिए - और .

सीधी रेखाओं को हाइपरबोला की नियताएँ कहा जाता है। चूँकि हाइपरबोला के लिए ε > 1, तो। इसका मतलब यह है कि दायां डायरेक्ट्रिक्स हाइपरबोला के केंद्र और दाएं शीर्ष के बीच स्थित है, बायां - केंद्र और बाएं शीर्ष के बीच।

हाइपरबोला की नियताओं में दीर्घवृत्त की नियताओं के समान गुण होते हैं।

समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र भी एक अतिपरवलय है, जिसका वास्तविक अक्ष 2बी ओए अक्ष पर स्थित है, और काल्पनिक अक्ष 2 ए- ऑक्स अक्ष पर. चित्र 59 में इसे एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है।

यह स्पष्ट है कि हाइपरबोलस में सामान्य अनंतस्पर्शी होते हैं। ऐसे अतिपरवलय को संयुग्म कहा जाता है।

11.5. परवलय

विहित परवलय समीकरण

परवलय समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक एक दिए गए बिंदु, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है, से समान दूरी पर होता है। फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स तक की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p > 0) द्वारा दर्शाया जाता है।

परवलय के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम समन्वय प्रणाली ऑक्सी को चुनते हैं ताकि ऑक्सी अक्ष डायरेक्ट्रिक्स से एफ की दिशा में डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत फोकस एफ से होकर गुजरे, और निर्देशांक ओ की उत्पत्ति बीच में स्थित हो फोकस और डायरेक्ट्रिक्स (चित्र 60 देखें)। चुनी गई प्रणाली में, फोकस F के निर्देशांक होते हैं, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण का रूप होता है, या।

1. समीकरण (11.13) में चर y एक सम डिग्री में प्रकट होता है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है; ऑक्स अक्ष परवलय की समरूपता का अक्ष है।

2. चूँकि ρ > 0, (11.13) से यह निष्कर्ष निकलता है कि। नतीजतन, परवलय ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित है।

3. जब हमारे पास y = 0 है। इसलिए, परवलय मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

4. जैसे-जैसे x अनिश्चित काल तक बढ़ता है, मॉड्यूल y भी अनिश्चित काल तक बढ़ता है। परवलय का रूप (आकार) चित्र 61 में दिखाया गया है। बिंदु O(0; 0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM = r को बिंदु M का फोकल त्रिज्या कहा जाता है।

समीकरण , , ( पी>0) परवलय को भी परिभाषित करें, इन्हें चित्र 62 में दिखाया गया है

यह दिखाना आसान है कि एक द्विघात त्रिपद का ग्राफ, जहां, बी और सी कोई वास्तविक संख्याएं हैं, ऊपर दी गई परिभाषा के अर्थ में एक परवलय है।

11.6. दूसरे क्रम की रेखाओं का सामान्य समीकरण

समन्वय अक्षों के समानांतर समरूपता अक्षों के साथ दूसरे क्रम के वक्रों के समीकरण

आइए सबसे पहले एक बिंदु पर केंद्र के साथ एक दीर्घवृत्त का समीकरण खोजें, जिसकी समरूपता की धुरी समन्वय अक्ष ऑक्स और ओए के समानांतर हैं और अर्ध-अक्ष क्रमशः बराबर हैं एऔर बी. आइए हम दीर्घवृत्त O 1 के केंद्र में एक नई समन्वय प्रणाली की शुरुआत रखें, जिसकी अक्ष और अर्ध-अक्ष एऔर बी(चित्र 64 देखें):

अंत में, चित्र 65 में दिखाए गए परवलयों के संगत समीकरण हैं।

समीकरण

परिवर्तनों के बाद दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय और एक वृत्त के समीकरण के समीकरण (कोष्ठक खोलें, समीकरण के सभी पदों को एक तरफ ले जाएँ, समान पद लाएँ, गुणांकों के लिए नए अंकन प्रस्तुत करें) को एकल समीकरण का उपयोग करके लिखा जा सकता है। रूप

जहां गुणांक ए और सी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।

प्रश्न उठता है: क्या प्रपत्र (11.14) का प्रत्येक समीकरण दूसरे क्रम के वक्रों (वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय) में से एक को निर्धारित करता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय 11.2. समीकरण (11.14) हमेशा परिभाषित करता है: या तो एक वृत्त (ए = सी के लिए), या एक दीर्घवृत्त (ए सी > 0 के लिए), या एक हाइपरबोला (ए सी के लिए)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

सामान्य दूसरे क्रम का समीकरण

आइए अब हम दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री के एक सामान्य समीकरण पर विचार करें:

यह समीकरण (11.14) से निर्देशांक (बी¹ 0) के गुणनफल वाले एक पद की उपस्थिति से भिन्न है। निर्देशांक अक्षों को एक कोण a द्वारा घुमाकर, इस समीकरण को बदलना संभव है ताकि निर्देशांक के उत्पाद वाला पद अनुपस्थित हो।

अक्ष घूर्णन सूत्रों का उपयोग करना

आइए पुराने निर्देशांक को नए निर्देशांक के रूप में व्यक्त करें:

आइए कोण a चुनें ताकि x" · y" का गुणांक शून्य हो जाए, यानी, ताकि समानता

इस प्रकार, जब अक्षों को एक ऐसे कोण द्वारा घुमाया जाता है जो शर्त (11.17) को संतुष्ट करता है, तो समीकरण (11.15) समीकरण (11.14) में कम हो जाता है।

निष्कर्ष: सामान्य दूसरे क्रम का समीकरण (11.15) समतल पर (अध: पतन और क्षय के मामलों को छोड़कर) निम्नलिखित वक्रों को परिभाषित करता है: वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय।

नोट: यदि A = C है, तो समीकरण (11.17) अर्थहीन हो जाता है। इस स्थिति में, cos2α = 0 (देखें (11.16)), तो 2α = 90°, अर्थात α = 45°। इसलिए, जब A = C, समन्वय प्रणाली को 45° घुमाया जाना चाहिए।

आइए वर्तमान निर्देशांक के सापेक्ष दूसरी डिग्री के समीकरण द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें

समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन कम से कम एक संख्या ए,बीया C 0 से भिन्न है। ऐसी रेखाओं को दूसरे क्रम की रेखाएँ (वक्र) कहा जाता है। नीचे हम दिखाएंगे कि समीकरण (1) एक समतल पर एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय या एक परवलय को परिभाषित करता है।

घेरा

दूसरे क्रम का सबसे सरल वक्र एक वृत्त है। याद रखें कि बिंदु M 0 पर केंद्र के साथ त्रिज्या R का एक वृत्त, शर्त MM 0 =R को संतुष्ट करने वाले विमान के बिंदुओं M का समूह कहलाता है। मान लें कि ऑक्सी प्रणाली में बिंदु M 0 के निर्देशांक x 0 ,y 0 हैं, और M(x,y) वृत्त पर एक मनमाना बिंदु है। फिर या

-एक वृत्त का विहित समीकरण . x 0 =y 0 =0 मानते हुए हमें x 2 +y 2 =R 2 प्राप्त होता है

आइए हम दिखाते हैं कि एक वृत्त के समीकरण को दूसरी डिग्री (1) के सामान्य समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम वृत्त समीकरण के दाईं ओर का वर्ग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इस समीकरण के (1) के अनुरूप होने के लिए यह आवश्यक है कि:

1) गुणांक बी=0,

2) . तब हमें मिलता है: (2)

अंतिम समीकरण कहा जाता है एक वृत्त का सामान्य समीकरण . समीकरण के दोनों पक्षों को A ≠0 से विभाजित करने और x और y वाले पदों को एक पूर्ण वर्ग में जोड़ने पर, हमें मिलता है:

(2)

इस समीकरण की तुलना एक वृत्त के विहित समीकरण से करने पर, हम पाते हैं कि समीकरण (2) वास्तव में एक वृत्त का समीकरण है यदि:

1)ए=सी, 2)बी=0, 3)डी 2 +ई 2 -4एएफ>0।

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो वृत्त का केंद्र बिंदु O और उसकी त्रिज्या पर स्थित होता है .

अंडाकार

य

एक्स

एफ 2 (सी,ओ)

एफ 1 (-सी,ओ)

परिभाषा 2 >2c के अनुसार, अर्थात >c. दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम मानेंगे कि नाभियाँ F 1 और F 2 ऑक्स अक्ष पर स्थित हैं, और t.O खंड F 1 F 2 के मध्य के साथ मेल खाता है , फिर एफ 1 (-सी, 0), एफ 2 (सी,0)।

मान लीजिए कि M(x,y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है, तो, दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार MF 1 +MF 2 =2 अर्थात

यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है. आप इसे इस प्रकार सरल रूप में परिवर्तित कर सकते हैं:

इसे चौकोर करें:

इसे चौकोर करो

चूँकि 2 -c 2 >0 हम 2 -c 2 =b 2 रखते हैं

तब अंतिम समीकरण इस प्रकार बनेगा:

विहित रूप में एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है: जब b= दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है। समीकरण रूप ले लेगा. अनुपात को अक्सर दीर्घवृत्त की विशेषता के रूप में प्रयोग किया जाता है। इस मात्रा को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है, और 0< <1 так как 0

दीर्घवृत्त के आकार का अध्ययन.

1) दीर्घवृत्त के समीकरण में x और y शामिल हैं, केवल एक सम डिग्री तक, इसलिए दीर्घवृत्त अक्ष Ox और Oy के संबंध में, साथ ही TO (0,0) के संबंध में सममित है, जिसे केंद्र कहा जाता है दीर्घवृत्त का.

2) निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। y=0 सेट करने पर हमें A 1 ( ,0) और A 2 (- ,0) मिलते हैं, जिसमें दीर्घवृत्त Ox को काटता है। x=0 रखने पर, हम B 1 (0,b) और B 2 (0,-b) पाते हैं। बिंदु A 1 , A 2 , B 1 , B 2 दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं। खंड ए 1 ए 2 और बी 1 बी 2, साथ ही उनकी लंबाई 2 और 2 बी, क्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्ष कहलाते हैं। संख्याएँ और b क्रमशः प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष हैं।

ए 1( ,0)

A2(- ,0)

बी 2 (0,बी)

नतीजतन, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु रेखाओं x=± ,y=±b द्वारा बने आयत के अंदर स्थित हैं। (अंक 2।)

4) दीर्घवृत्त समीकरण में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग एक के बराबर होता है। परिणामस्वरूप, जैसे-जैसे एक पद बढ़ेगा, दूसरा घटेगा, अर्थात, यदि |x| बढ़ता है, तो |y| - घटता है और इसके विपरीत। जो कुछ कहा गया है, उससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र 2 में दिखाया गया है। (अंडाकार बंद वक्र).

परिधि एक दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं के संग्रह को कहा जाता है वृत्त का केंद्र.वृत्त के केंद्र से वृत्त पर किसी बिंदु तक की दूरी कहलाती है . वृत्त की त्रिज्या.

- एक वृत्त का विहित समीकरण (16) - वृत्त का केंद्र।

यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, तो वृत्त का समीकरण है (16 .)

अंडाकारविमान के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से दूरियों का योग (कहा जाता है)। चालइस दीर्घवृत्त का) एक स्थिर मान है।

इन (0;बी)एम(एक्स,वाई)

आर 1 आर 2 आर 1 +आर 2 =2ए

(-ए;0) एफ 1 (-सी;0) 0 एफ 2 (सी;0) (ए;0) एक्स

आइए संक्षिप्तता के लिए a 2 -b 2 =c 2 (*) को निरूपित करें, तो दीर्घवृत्त का समीकरण है: (17)

यदि आप y=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है, और यदि आप x=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है; इसका मतलब यह है कि और दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों की लंबाई हैं - बड़ा() और छोटा(). इसके अलावा, बाईं ओर का प्रत्येक पद एक से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए , , और इसलिए संपूर्ण दीर्घवृत्त आयत के अंदर स्थित है। बिंदु A, B, C, D, जिन पर दीर्घवृत्त अपनी सममिति अक्षों को काटता है, कहलाते हैं दीर्घवृत्त के शीर्ष.

नज़रिया दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहलाती है।

अतिशयोक्ति विमान के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से दूरियों के अंतर का मापांक (कहा जाता है) चालइस अतिपरवलय का) एक स्थिर मान है। नाभियों के बीच की दूरी का मध्यबिंदु कहलाता है हाइपरबोला का केंद्र.

आर 2 आर 1 –आर 2 =2ए

एफ 1 (-सी;0) 0 एफ 2 (सी;0) एक्स

आइए हम हाइपरबोला समीकरण को 2 -c 2 = -b 2 (**) निरूपित करें: (18)

इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि एक हाइपरबोला में समरूपता के दो अक्ष (मुख्य अक्ष) होते हैं, साथ ही समरूपता का एक केंद्र (हाइपरबोला का केंद्र) भी होता है।

नज़रिया हाइपरबोला की विलक्षणता कहलाती है।

यदि आप y=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है, और यदि आप x=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है।

इसका मतलब है कि ऑक्स अक्ष हाइपरबोला को दो बिंदुओं (हाइपरबोला के शीर्ष) पर काटता है, यह है - वास्तविक अक्ष; ओए अक्ष हाइपरबोला को नहीं काटता - यह है " काल्पनिक धुरी. "हाइपरबोला के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई भी खंड, यदि वह केंद्र से होकर गुजरता है, कहलाता है हाइपरबोला का व्यास.

एक सीधी रेखा जिसके पास एक घुमावदार रेखा इच्छानुसार करीब आती है लेकिन उसे कभी काटती नहीं है, कहलाती है वक्र का स्पर्शोन्मुख.हाइपरबोला में दो अनंतस्पर्शी होते हैं। उनके समीकरण हैं: (19)

परवलय समतल पर सभी बिंदुओं का संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक से एक दिए गए बिंदु की दूरी (कहा जाता है) केंद्र)किसी दी गई सीधी रेखा की दूरी के बराबर (कहा जाता है प्रधानाध्यापिका).

- परवलय पैरामीटर.

परवलय में सममिति का एक अक्ष होता है। सममिति अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को कहा जाता है परवलय का शीर्ष.

मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ऑक्स अक्ष है और दाईं ओर निर्देशित शाखाओं का रूप है (20)

उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:

मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ऑक्स अक्ष है और बाईं ओर निर्देशित शाखाओं का रूप है (20 ,)

उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:

मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ओए अक्ष है और शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, का रूप होता है (20 ,)

उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:

मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ओए अक्ष है और शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, का रूप होता है (20 ,)

उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:

Y y

एफ 0 पी/2 एक्स -पी/2 0 एक्स

Y y

पी/2

-पी/2
विषय 2.1. व्याख्यान 7. पाठ 10

विषय: एक स्वतंत्र चर के कार्य, उनके ग्राफ़।

कार्य की अवधारणा

बुनियादी गणितीय अवधारणाओं में से एक फ़ंक्शन की अवधारणा है। किसी फ़ंक्शन की अवधारणा दो सेटों के तत्वों के बीच निर्भरता (संबंध) स्थापित करने से जुड़ी है।

मान लीजिए कि दो गैर-रिक्त सेट X और Y दिए गए हैं। पत्राचार ƒ, जो प्रत्येक तत्व xO : एक्स→वाई. वे यह भी कहते हैं कि फ़ंक्शन सेट X को सेट Y से मैप करता है।

उदाहरण के लिए, चित्र 98 ए और बी में दिखाए गए पत्राचार और जी फ़ंक्शन हैं, लेकिन चित्र 98 सी और डी में दिखाए गए अनुरूप नहीं हैं। मामले में - प्रत्येक तत्व xÎX एक तत्व yÎY से मेल नहीं खाता है। मामले डी में, विशिष्टता की शर्त पूरी नहीं होती है।

सेट X को फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है और इसे D(f) से दर्शाया जाता है। सभी уОY के समुच्चय को फ़ंक्शन के मानों का समुच्चय कहा जाता है और इसे E(ƒ) से दर्शाया जाता है।

संख्यात्मक कार्य. फ़ंक्शन ग्राफ़. कार्यों को निर्दिष्ट करने की विधियाँ

मान लीजिए एक फलन ƒ : X→Y दिया गया है।

यदि समुच्चय भविष्य में हम (एक नियम के रूप में) संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करेंगे; संक्षिप्तता के लिए हम उन्हें केवल फ़ंक्शन कहेंगे और y = ƒ (x) लिखेंगे।

चर x को एक तर्क या स्वतंत्र चर कहा जाता है, और y को एक फ़ंक्शन या आश्रित चर (x का) कहा जाता है। स्वयं x और y मात्राओं के संबंध में, उन्हें कार्यात्मक रूप से निर्भर कहा जाता है। कभी-कभी x पर y की कार्यात्मक निर्भरता को y = y (x) के रूप में लिखा जाता है, निर्भरता को दर्शाने के लिए कोई नया अक्षर (˒) डाले बिना।

निजी मूल्य x=a के लिए फ़ंक्शंस ƒ(x) इस प्रकार लिखे गए हैं: ƒ(a)। उदाहरण के लिए, यदि ƒ(x)=2x 2 -3, तो ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

फ़ंक्शन ग्राफ़ y=(x) ऑक्सी तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक के लिए x तर्क का मान है, और y फ़ंक्शन का संगत मान है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=√(1-2) का ग्राफ त्रिज्या R=1 का ऊपरी अर्धवृत्त है जिसका केंद्र O(0;0) है (चित्र 99 देखें)।

फ़ंक्शन y=ƒ(x) सेट करने के लिए, एक नियम निर्दिष्ट करना आवश्यक है जो x को जानकर, y का संगत मान ज्ञात करने की अनुमति देता है।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के सबसे आम तीन तरीके हैं: विश्लेषणात्मक, सारणीबद्ध और ग्राफिकल।

विश्लेषणात्मक विधि: एक फ़ंक्शन को एक या अधिक सूत्रों या समीकरणों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।

यदि फ़ंक्शन y = ƒ(x) की परिभाषा का डोमेन निर्दिष्ट नहीं है, तो यह माना जाता है कि यह तर्क के सभी मानों के सेट से मेल खाता है जिसके लिए संबंधित सूत्र समझ में आता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = √(1-x2) की परिभाषा का क्षेत्र खंड [-1; 1].

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विश्लेषणात्मक विधि सबसे उन्नत है, क्योंकि इसमें गणितीय विश्लेषण के तरीके शामिल हैं जो फ़ंक्शन y=ƒ(x) का पूरी तरह से अध्ययन करना संभव बनाते हैं।

ग्राफ़िकल विधि: फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्दिष्ट किया गया है।

अक्सर ग्राफ़ रिकॉर्डिंग उपकरणों द्वारा स्वचालित रूप से खींचे जाते हैं या डिस्प्ले स्क्रीन पर प्रदर्शित होते हैं। तर्क x के कुछ मानों के अनुरूप फ़ंक्शन y के मान सीधे इस ग्राफ़ से पाए जाते हैं।

ग्राफिक कार्य का लाभ इसकी स्पष्टता है, नुकसान इसकी अशुद्धि है।

सारणीबद्ध विधि: एक फ़ंक्शन को तर्क मानों और संबंधित फ़ंक्शन मानों की एक श्रृंखला की तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों की प्रसिद्ध तालिकाएँ, लघुगणक तालिकाएँ।

व्यवहार में, प्रयोगात्मक रूप से या अवलोकनों के परिणामस्वरूप प्राप्त फ़ंक्शन मानों की तालिकाओं का उपयोग करना अक्सर आवश्यक होता है।

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व्याख्यान संख्या 9. विषय 3: दूसरे क्रम की पंक्तियाँ

मान लीजिए किसी डीएससी में दूसरी-डिग्री समीकरण द्वारा परिभाषित एक रेखा दी गई है

गुणांक कहां हैं
एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं. इस लाइन को कहा जाता हैवक्र या दूसरी ऑर्डर लाइन.

ऐसा हो सकता है कि कोई अंक न हों
वास्तविक निर्देशांक संतोषजनक समीकरण (1) के साथ। इस मामले में, यह माना जाता है कि समीकरण (1) दूसरे क्रम की एक काल्पनिक रेखा को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए,
 यह एक काल्पनिक वृत्त का समीकरण है.

आइए समीकरण (1) के तीन महत्वपूर्ण विशेष मामलों पर विचार करें।

3.1. अंडाकार

दीर्घवृत्त को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

(2)

कठिनाइयाँ एऔर बी क्रमशः अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष कहलाते हैं, और समीकरण (2) हैकैनन का एक दीर्घवृत्त का समीकरण.

चलो रखो
और अक्ष पर अंकित करेंके बारे में एक्सअंक

बुलायाचाल दीर्घवृत्त. तब दीर्घवृत्त को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

बिन्दुओं का बिन्दुपथ, जहाँ से नाभि तक की दूरी का योग एक स्थिर मान के बराबर होता है 2ए.

पर

बी

एम क

— एएफ 1 ओ एफ 2 ए एक्स

— बी

चलिए दिखाते हैं. आइए बात को स्पष्ट करें
 दीर्घवृत्त का वर्तमान बिंदु. इस मामले में हमें मिलता है तब समानता कायम रहनी चाहिए

आइए अभिव्यक्ति (3) को इस रूप में प्रस्तुत करें

और अभिव्यक्ति के दोनों किनारों को वर्गाकार करें

यहीं से हमें मिलता है

एक बार फिर, आइए इस अभिव्यक्ति को वर्गित करें और संबंध का उपयोग करें
, तब

(4)

अभिव्यक्ति के दोनों पक्षों (4) को विभाजित करना
, हम अंततः दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करते हैं

आइए समीकरण (2) की जाँच करें। यदि हम समीकरण में प्रतिस्थापित करें तो समीकरण (2) नहीं बदलेगा। इसका मतलब यह है कि दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों के बारे में सममित है। इसलिए, आइए हम पहली तिमाही में स्थित दीर्घवृत्त के भाग पर विस्तार से विचार करें। इसे समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है
यह स्पष्ट है कि दीर्घवृत्त बिंदुओं से होकर गुजरता है
. पहली तिमाही में योजनाबद्ध निर्माण पूरा करने के बाद, हम सभी तिमाहियों में इसका ग्राफ सममित रूप से प्रदर्शित करेंगे। इस प्रकार, दीर्घवृत्त एक सतत बंद वक्र है। बिन्दु कहलाते हैंदीर्घवृत्त के शीर्ष.

नज़रिया
बुलायासनकदीर्घवृत्त. दीर्घवृत्त के लिए
.

प्रत्यक्ष
कहा जाता हैदीर्घवृत्त की नियताएँ.

डायरेक्ट्रिक्स की निम्नलिखित संपत्ति सत्य है::

दीर्घवृत्त के बिंदुओं के लिए फोकस और नियता से दूरियों का अनुपात विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है, अर्थात।

यह समानता (3) की तरह ही सिद्ध होता है।

नोट 1। घेरा
दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है। उसके लिए

3.2. अतिशयोक्ति

हाइपरबोला के विहित समीकरण का रूप होता है

वे। समीकरण (1) में हमें डालना होगा

कठिनाइयाँ एऔर बी क्रमशः वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्ष कहलाते हैं।

लाना
, अक्ष पर अंकित करेंके बारे में एक्सअंक
बुलायाचाल अतिशयोक्ति। तब एक अतिपरवलय को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

बिन्दुओं का बिन्दुपथ, जहाँ से नाभि तक की दूरी का निरपेक्ष मान में अंतर 2 हैए, अर्थात।

पर

को एम

एफ 1 —ए के बारे में एएफ 2 एक्स

प्रमाण दीर्घवृत्त के समान है। हाइपरबोला समीकरण के रूप के आधार पर, हम यह भी निष्कर्ष निकालते हैं कि इसका ग्राफ समन्वय प्रणाली के अक्षों के संबंध में सममित है। पहली तिमाही में पड़े हाइपरबोला के भाग में समीकरण होता है
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि पर्याप्त रूप से बड़े के लिएएक्सहाइपरबोला एक सीधी रेखा के करीब है
. पहली तिमाही में योजनाबद्ध निर्माण के बाद, हम सभी तिमाहियों में ग्राफ़ को सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं।