कंप्यूटर विज्ञान में किसी संख्या का आधार कैसे निर्धारित करें। संख्या प्रणाली. बुनियादी अवधारणाओं। संख्याओं को दर्शाने के तरीके

इससे पहले कि हम समस्याओं को हल करना शुरू करें, हमें कुछ सरल बिंदुओं को समझना होगा।

दशमलव संख्या 875 पर विचार करें। संख्या का अंतिम अंक (5) संख्या 875 को 10 से विभाजित करने का शेषफल है। अंतिम दो अंक संख्या 75 बनाते हैं - यह संख्या 875 को 100 से विभाजित करने का शेषफल है। इसी तरह के कथन हैं किसी भी संख्या प्रणाली के लिए सत्य:

किसी संख्या को संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित करने पर उसका अंतिम अंक शेषफल होता है।

किसी संख्या को वर्ग आधार से विभाजित करने पर उसके अंतिम दो अंक शेषफल होते हैं।

उदाहरण के लिए, । 23 को सिस्टम बेस 3 से विभाजित करने पर, हमें शेषफल के रूप में 7 और 2 मिलते हैं (2 टर्नरी सिस्टम में किसी संख्या का अंतिम अंक है)। 23 को 9 से विभाजित करें (आधार का वर्ग), हमें 18 और 5 शेषफल के रूप में प्राप्त होता है (5 = )।

आइए फिर से सामान्य दशमलव प्रणाली पर लौटते हैं। संख्या = 100000. अर्थात 10 से k की शक्ति एक और k शून्य है।

एक समान कथन किसी भी संख्या प्रणाली के लिए सत्य है:

इस संख्या प्रणाली में संख्या प्रणाली का आधार घात k को एक और k शून्य के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, ।

1. संख्या प्रणाली का आधार ज्ञात करना

उदाहरण 1।

किसी आधार वाली संख्या प्रणाली में, दशमलव संख्या 27 को 30 के रूप में लिखा जाता है। इस आधार को निर्दिष्ट करें।

समाधान:

आइए हम वांछित आधार x को निरूपित करें। फिर .आई.ई. एक्स = 9.

उदाहरण 2.

किसी आधार वाली संख्या प्रणाली में, दशमलव संख्या 13 को 111 के रूप में लिखा जाता है। इस आधार को निर्दिष्ट करें।

समाधान:

आइए हम वांछित आधार x को निरूपित करें। तब

हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं, हमें मूल 3 और -4 मिलते हैं। चूँकि संख्या प्रणाली का आधार ऋणात्मक नहीं हो सकता, उत्तर 3 है।

उत्तर: 3

उदाहरण 3

अल्पविराम से अलग, आरोही क्रम में, संख्या प्रणालियों के सभी आधारों को इंगित करें जिनमें संख्या 29 5 में समाप्त होती है।

समाधान:

यदि किसी प्रणाली में संख्या 29 5 में समाप्त होती है, तो 5 से कम की गई संख्या (29-5 = 24) 0 पर समाप्त होती है। हमने पहले कहा था कि कोई संख्या उस स्थिति में 0 में समाप्त होती है जब वह प्रणाली के आधार से विभाज्य होती है बिना किसी शेषफल के. वे। हमें ऐसी सभी संख्याएं ढूंढनी होंगी जो संख्या 24 के विभाजक हों। ये संख्याएं हैं: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24। ध्यान दें कि 2, 3, 4 आधार वाली संख्या प्रणालियों में कोई संख्या नहीं है 5 (और सूत्रीकरण समस्या में, संख्या 29 5 में समाप्त होती है), जिसका अर्थ है कि आधार वाले सिस्टम बने रहते हैं: 6, 8, 12,

उत्तर: 6, 8, 12, 24

उदाहरण 4

अल्पविराम द्वारा अलग किए गए, आरोही क्रम में, संख्या प्रणालियों के सभी आधारों को इंगित करें जिनमें संख्या 71 13 में समाप्त होती है।

समाधान:

यदि किसी प्रणाली में कोई संख्या 13 पर समाप्त होती है, तो इस प्रणाली का आधार 4 से कम नहीं है (अन्यथा वहां कोई संख्या 3 नहीं है)।

एक संख्या 3 से कम (71-3=68) 10 पर समाप्त होती है। 68 को सिस्टम के वांछित आधार से पूरी तरह विभाजित किया जाता है, और सिस्टम के आधार से विभाजित करने पर इसका भागफल 0 शेषफल देता है।

आइए संख्या 68 के सभी पूर्णांक भाजक लिखें: 2, 4, 17, 34, 68।

2 उपयुक्त नहीं है, क्योंकि आधार 4 से कम नहीं है। आइए शेष भाजक की जाँच करें:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (शेष 1) - उपयुक्त

68:17 = 4; 4:17 = 0 (बाकी 4) - उपयुक्त नहीं

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ओस्ट 2) - उपयुक्त नहीं

68:68 = 1; 1:68 = 0 (शेष 1) - उपयुक्त

उत्तर: 4.68

2. शर्तों के अनुसार संख्याएँ खोजें

उदाहरण 5

आरोही क्रम में अल्पविराम से अलग करके निर्दिष्ट करें, सभी दशमलव संख्याएँ जो 25 से अधिक न हों, आधार चार संख्या प्रणाली में किसका अंकन 11 में समाप्त होता है?

समाधान:

सबसे पहले, आइए जानें कि आधार 4 संख्या प्रणाली में संख्या 25 कैसी दिखती है।

वे। हमें वे सभी संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी, जो इससे बड़ी न हों, जो 11 पर समाप्त होती हैं। आधार 4 प्रणाली में क्रमिक गिनती के नियम के अनुसार,
हमें नंबर मिलते हैं और। हम उन्हें दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित करते हैं:

उत्तर: 5, 21

3. समीकरण हल करना

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें:

अपना उत्तर टर्नरी प्रणाली में लिखें (आपके उत्तर में संख्या प्रणाली का आधार लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

समाधान:

आइए सभी संख्याओं को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें:

द्विघात समीकरण के मूल -8 और 6 हैं (क्योंकि सिस्टम का आधार नकारात्मक नहीं हो सकता)। .

उत्तर: 20

4. किसी अभिव्यक्ति के मान के द्विआधारी अंकन में इकाई (शून्य) की संख्या की गणना करना

इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए, हमें यह याद रखना होगा कि स्तंभ जोड़ और घटाव कैसे काम करते हैं:

जोड़ते समय, एक-दूसरे के नीचे लिखे अंकों का बिटवाइज़ योग होता है, जो सबसे कम महत्वपूर्ण अंकों से शुरू होता है। यदि दो अंकों का परिणामी योग संख्या प्रणाली के आधार से अधिक या उसके बराबर है, तो इस योग को संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित करने का शेष योग अंकों के अंतर्गत लिखा जाता है, और इस योग को विभाजित करने के पूर्णांक भाग को संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित किया जाता है। सिस्टम का आधार निम्नलिखित अंकों के योग में जोड़ा जाता है।

घटाते समय, एक दूसरे के नीचे लिखे अंकों को बिटवाइज़ घटाया जाता है, सबसे कम महत्वपूर्ण अंकों से शुरू करके। यदि पहला अंक दूसरे से कम है, तो हम आसन्न (बड़े) अंक से एक "उधार" लेते हैं। वर्तमान अंक में व्याप्त इकाई संख्या प्रणाली के आधार के बराबर है। दशमलव में यह 10 है, बाइनरी में यह 2 है, टर्नरी में यह 3 है, आदि।

उदाहरण 7

अभिव्यक्ति मान के बाइनरी नोटेशन में कितनी इकाइयाँ समाहित हैं: ?

समाधान:

आइए अभिव्यक्ति में सभी संख्याओं की दो की घातों के रूप में कल्पना करें:

बाइनरी नोटेशन में, n की घात 2, 1 जैसा दिखता है जिसके बाद n शून्य होता है। फिर और का योग करने पर, हमें 2 इकाइयों वाली एक संख्या प्राप्त होती है:

अब परिणामी संख्या में से 10,000 घटाएं। घटाव के नियमों के अनुसार, हम अगले अंक से उधार लेते हैं।

अब परिणामी संख्या में 1 जोड़ें:

हम देखते हैं कि परिणाम में 2013+1+1=2015 इकाइयाँ हैं।

सेवा का उद्देश्य. यह सेवा संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए डिज़ाइन की गई है ऑनलाइन मोड. ऐसा करने के लिए, उस सिस्टम का आधार चुनें जिससे आप नंबर कनवर्ट करना चाहते हैं। आप पूर्णांक और संख्या दोनों को अल्पविराम से दर्ज कर सकते हैं।

आप पूर्ण संख्याएँ, उदाहरण के लिए 34, और भिन्नात्मक संख्याएँ, उदाहरण के लिए, 637.333, दोनों दर्ज कर सकते हैं। भिन्नात्मक संख्याओं के लिए, दशमलव बिंदु के बाद अनुवाद सटीकता इंगित की जाती है।

इस कैलकुलेटर के साथ निम्नलिखित का भी उपयोग किया जाता है:

संख्याओं को दर्शाने के तरीके

द्विआधारी (बाइनरी) संख्याएँ - प्रत्येक अंक का मतलब एक बिट (0 या 1) का मान है, सबसे महत्वपूर्ण बिट हमेशा बाईं ओर लिखा जाता है, अक्षर "बी" संख्या के बाद रखा जाता है। धारणा में आसानी के लिए, नोटबुक को रिक्त स्थान से अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1010 0101बी।
हेक्साडेसिमल (हेक्साडेसिमल) संख्याएं - प्रत्येक टेट्राड को एक प्रतीक 0...9, ए, बी, ..., एफ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रतिनिधित्व को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है; यहां अंतिम हेक्साडेसिमल के बाद केवल प्रतीक "एच" का उपयोग किया जाता है अंक। उदाहरण के लिए, A5h. प्रोग्राम टेक्स्ट में, प्रोग्रामिंग भाषा के सिंटैक्स के आधार पर, समान संख्या को 0xA5 या 0A5h के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। संख्याओं और प्रतीकात्मक नामों के बीच अंतर करने के लिए अक्षर द्वारा दर्शाए गए सबसे महत्वपूर्ण हेक्साडेसिमल अंक के बाईं ओर एक अग्रणी शून्य (0) जोड़ा जाता है।
दशमलव (दशमलव) संख्याएँ - प्रत्येक बाइट (शब्द, दोहरा शब्द) को एक नियमित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है, और दशमलव प्रतिनिधित्व चिह्न (अक्षर "डी") आमतौर पर छोड़ दिया जाता है। पिछले उदाहरणों में बाइट का दशमलव मान 165 है। बाइनरी और हेक्साडेसिमल नोटेशन के विपरीत, दशमलव में प्रत्येक बिट के मान को मानसिक रूप से निर्धारित करना मुश्किल है, जो कभी-कभी आवश्यक होता है।
अष्टभुजाकार (ऑक्टल) संख्याएँ - बिट्स के प्रत्येक ट्रिपल (विभाजन सबसे कम महत्वपूर्ण से शुरू होता है) को 0-7 संख्या के रूप में लिखा जाता है, जिसके अंत में "ओ" होता है। वही संख्या 245o लिखी जाएगी। ऑक्टल प्रणाली असुविधाजनक है क्योंकि बाइट को समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम

पूर्ण दशमलव संख्याओं को किसी अन्य संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने का कार्य संख्या को आधार से विभाजित करके किया जाता है नई प्रणालीक्रमांकन तब तक किया जाता है जब तक कि शेष नई संख्या प्रणाली के आधार से छोटी संख्या न रह जाए। नई संख्या को पिछले से शुरू करके विभाजन शेष के रूप में लिखा जाता है।
एक नियमित दशमलव अंश को दूसरे पीएसएस में परिवर्तित करना संख्या के केवल भिन्नात्मक भाग को नई संख्या प्रणाली के आधार से गुणा करके किया जाता है जब तक कि सभी शून्य भिन्नात्मक भाग में न रहें या जब तक निर्दिष्ट अनुवाद सटीकता प्राप्त न हो जाए। प्रत्येक गुणन संक्रिया के परिणामस्वरूप, उच्चतम संख्या से शुरू करके, एक नई संख्या का एक अंक बनता है।
अनुचित भिन्न अनुवाद नियम 1 और 2 के अनुसार किया जाता है। पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को एक साथ लिखा जाता है, अल्पविराम से अलग किया जाता है।

उदाहरण क्रमांक 1.



2 से 8 से 16 संख्या प्रणाली में रूपांतरण।
ये प्रणालियाँ दो के गुणज हैं, इसलिए अनुवाद एक पत्राचार तालिका (नीचे देखें) का उपयोग करके किया जाता है।

किसी संख्या को बाइनरी संख्या प्रणाली से ऑक्टल (हेक्साडेसिमल) संख्या प्रणाली में बदलने के लिए, बाइनरी संख्या को दशमलव बिंदु से दाएं और बाएं तीन (हेक्साडेसिमल के लिए चार) अंकों के समूहों में विभाजित करना आवश्यक है, जो बाहरी समूहों को पूरक करता है। यदि आवश्यक हो तो शून्य के साथ. प्रत्येक समूह को संबंधित अष्टक या हेक्साडेसिमल अंक से बदल दिया जाता है।

उदाहरण क्रमांक 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
यहाँ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

हेक्साडेसिमल प्रणाली में परिवर्तित करते समय, आपको समान नियमों का पालन करते हुए संख्या को चार अंकों के भागों में विभाजित करना होगा।
उदाहरण संख्या 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2बी12,13 हेक्स
यहाँ 0010=2; 1011=बी; 1010=12; 1011=13

2, 8 और 16 से संख्याओं को दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए संख्या को अलग-अलग भागों में विभाजित किया जाता है और इसे प्रणाली के आधार (जिससे संख्या का अनुवाद किया जाता है) से गुणा करके इसकी क्रम संख्या के अनुरूप शक्ति तक बढ़ाया जाता है। नंबर परिवर्तित किया जा रहा है. इस मामले में, संख्याओं को बढ़ते क्रम में दशमलव बिंदु के बाईं ओर क्रमांकित किया जाता है (पहली संख्या 0 है) और दाहिनी ओरघटते हुए (अर्थात् ऋणात्मक चिह्न के साथ)। प्राप्त परिणामों को जोड़ा जाता है।

उदाहरण संख्या 4.
बाइनरी से दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण का एक उदाहरण।

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 अष्टक से दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण का एक उदाहरण। 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 हेक्साडेसिमल से दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण का एक उदाहरण। 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

एक बार फिर हम संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरे पीएसएस में परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम दोहराते हैं

1. दशमलव संख्या प्रणाली से:
   • संख्या को अनुवादित की जा रही संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित करें;
   • किसी संख्या के पूर्णांक भाग को विभाजित करते समय शेषफल ज्ञात करें;
   • विभाजन के सभी शेषफलों को उल्टे क्रम में लिखिए;
2. बाइनरी नंबर सिस्टम से
   • दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए, अंक की संगत डिग्री द्वारा आधार 2 के उत्पादों का योग ज्ञात करना आवश्यक है;
   • किसी संख्या को अष्टक में बदलने के लिए, आपको संख्या को त्रिक में तोड़ना होगा।
     उदाहरण के लिए, 1000110 = 1,000 110 = 106 8
   • किसी संख्या को बाइनरी से हेक्साडेसिमल में बदलने के लिए, आपको संख्या को 4 अंकों के समूहों में विभाजित करना होगा।
     उदाहरण के लिए, 1000110 = 100 0110 = 46 16

प्रणाली को स्थितीय कहा जाता है, जिसके लिए किसी अंक का महत्व या वजन संख्या में उसके स्थान पर निर्भर करता है। सिस्टम के बीच संबंध एक तालिका में व्यक्त किया गया है।
संख्या प्रणाली पत्राचार तालिका:

बाइनरी एसएस	हेक्साडेसिमल एसएस
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	ए
1011	बी
1100	सी
1101	डी
1110	इ
1111	एफ

अष्टक संख्या प्रणाली में रूपांतरण के लिए तालिका

उदाहरण क्रमांक 2. संख्या 100.12 को दशमलव संख्या प्रणाली से अष्टक संख्या प्रणाली में बदलें और इसके विपरीत। विसंगतियों के कारण स्पष्ट करें।
समाधान.
प्रथम चरण। .

हम भाग के शेष भाग को उल्टे क्रम में लिखते हैं। हमें आठवीं संख्या प्रणाली में संख्या मिलती है: 144
100 = 144 8

किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग को परिवर्तित करने के लिए, हम क्रमिक रूप से भिन्नात्मक भाग को आधार 8 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हर बार हम गुणनफल का पूरा भाग लिखते हैं।
0.12*8 = 0.96 (पूर्णांक भाग 0 )
0.96*8 = 7.68 (पूर्णांक भाग 7 )
0.68*8 = 5.44 (पूर्णांक भाग 5 )
0.44*8 = 3.52 (पूर्णांक भाग 3 )
हमें आठवीं संख्या प्रणाली में नंबर मिलता है: 0753।
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

चरण 2। किसी संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली से अष्टक संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना.
अष्टक संख्या प्रणाली से दशमलव में उल्टा रूपांतरण।

किसी पूर्णांक भाग का अनुवाद करने के लिए, आपको किसी संख्या के अंक को अंक की संगत डिग्री से गुणा करना होगा।
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

भिन्नात्मक भाग को परिवर्तित करने के लिए, आपको संख्या के अंक को अंक की संगत डिग्री से विभाजित करना होगा
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
0.0001 (100.12 - 100.1199) का अंतर अष्टक संख्या प्रणाली में परिवर्तित करते समय एक पूर्णांक त्रुटि द्वारा समझाया गया है। यदि आप बड़ी संख्या में अंक लेते हैं (उदाहरण के लिए, 4 नहीं, बल्कि 8) तो इस त्रुटि को कम किया जा सकता है।

दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण

अभ्यास 1।दशमलव प्रणाली में 24 16 किस संख्या से मेल खाता है?

समाधान।

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

उत्तर। 24 16 = 36 10

कार्य 2.यह ज्ञात है कि X = 12 4 + 4 5 + 101 2। दशमलव संख्या प्रणाली में X का मान क्या है?

समाधान।

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
संख्या ज्ञात कीजिए: X = 6 + 4 + 5 = 15

उत्तर।एक्स = 15 10

कार्य 3.दशमलव संकेतन में योग 10 2 + 45 8 + 10 16 के मान की गणना करें।

समाधान।

आइए प्रत्येक पद को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
योग है: 2 + 37 + 16 = 55

बाइनरी संख्या प्रणाली में रूपांतरण

अभ्यास 1।बाइनरी में संख्या 37 क्या है?

समाधान।

आप 2 से विभाजित करके और शेष को उल्टे क्रम में जोड़कर रूपांतरित कर सकते हैं।

दूसरा तरीका यह है कि संख्या को उच्चतम से शुरू करके दो की घातों के योग में विघटित किया जाए, जिसका परिकलित परिणाम दी गई संख्या से कम हो। परिवर्तित करते समय, किसी संख्या की लुप्त शक्तियों को शून्य से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

उत्तर। 37 10 = 100101 2 .

कार्य 2.दशमलव संख्या 73 के बाइनरी नोटेशन में कितने सार्थक शून्य होते हैं?

समाधान।

आइए संख्या 73 को दो की घातों के योग में विघटित करें, उच्चतम से शुरू करें और बाद में लुप्त घातों को शून्य से गुणा करें, और मौजूदा घातों को एक से गुणा करें:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

उत्तर।दशमलव संख्या 73 के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में चार महत्वपूर्ण शून्य हैं।

कार्य 3. x = D2 16, y = 37 8 के लिए संख्याओं x और y का योग ज्ञात करें। परिणाम को बाइनरी संख्या प्रणाली में प्रस्तुत करें।

समाधान।

याद रखें कि हेक्साडेसिमल संख्या का प्रत्येक अंक चार बाइनरी अंकों से बनता है, अष्टक संख्या का प्रत्येक अंक तीन से बनता है:

डी2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

आइए परिणामी संख्याओं को जोड़ें:

11010010 11111 -------- 11110001

उत्तर।बाइनरी संख्या प्रणाली में प्रदर्शित संख्याओं D2 16 और y = 37 8 का योग 11110001 है।

कार्य 4.दिया गया: ए= डी7 16, बी= 331 8 . कौन सी संख्या सी, बाइनरी नंबर सिस्टम में लिखा गया, शर्त को पूरा करता है ए< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

समाधान।

आइए संख्याओं को बाइनरी संख्या प्रणाली में बदलें:

डी7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

सभी संख्याओं के पहले चार अंक समान (1101) हैं। इसलिए, निचले चार अंकों की तुलना करके तुलना को सरल बनाया गया है।

सूची से पहली संख्या उस संख्या के बराबर है बीइसलिए, उपयुक्त नहीं है.

दूसरी संख्या इससे बड़ी है बी. तीसरा नंबर है ए.

केवल चौथा नंबर उपयुक्त है: 0111< 1000 < 1001.

उत्तर।चौथा विकल्प (11011000) शर्त को पूरा करता है ए< c < b .

विभिन्न संख्या प्रणालियों और उनके आधारों में मान निर्धारित करने का कार्य

अभ्यास 1।@, $, &, % वर्णों को एन्कोड करने के लिए दो अंकों की अनुक्रमिक बाइनरी संख्याओं का उपयोग किया जाता है। पहला वर्ण संख्या 00 से मेल खाता है। इन वर्णों का उपयोग करके, निम्नलिखित अनुक्रम को एन्कोड किया गया था: $%&&@$। इस क्रम को डिकोड करें और परिणाम को हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में बदलें।

समाधान।

1. आइए बाइनरी संख्याओं की तुलना उन वर्णों से करें जिन्हें वे एन्कोड करते हैं:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. बाइनरी संख्या को हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में बदलें:
0111 1010 0001 = 7ए1

उत्तर। 7ए1 16.

कार्य 2.बगीचे में 100 x फल के पेड़ हैं, जिनमें से 33 x सेब के पेड़ हैं, 22 x नाशपाती हैं, 16 x प्लम हैं, 17 x चेरी हैं। संख्या प्रणाली (x) का आधार क्या है?

समाधान।

1. ध्यान दें कि सभी पद दो अंकों की संख्याएँ हैं। किसी भी संख्या प्रणाली में उन्हें इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, जहां a और b संख्या के संगत अंकों के अंक हैं।
तीन अंकों की संख्या के लिए यह इस प्रकार होगा:
ए * एक्स 2 + बी * एक्स 1 + सी * एक्स 0 = एएक्स 2 + बीएक्स + सी

2. समस्या की स्थिति है:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
आइए संख्याओं को सूत्रों में प्रतिस्थापित करें:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. द्विघात समीकरण को हल करें:
-x2 + 7x + 18 = 0
डी = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. डी का वर्गमूल 11 है।
द्विघात समीकरण की जड़ें:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 या x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. एक ऋणात्मक संख्या किसी संख्या प्रणाली का आधार नहीं हो सकती। इसलिए x केवल 9 के बराबर हो सकता है।

उत्तर।संख्या प्रणाली का आवश्यक आधार 9 है।

कार्य 3.किसी आधार वाली संख्या प्रणाली में, दशमलव संख्या 12 को 110 के रूप में लिखा जाता है। इस आधार को खोजें।

समाधान।

सबसे पहले, हम दशमलव संख्या प्रणाली में मान ज्ञात करने के लिए स्थितीय संख्या प्रणालियों में संख्याएँ लिखने के सूत्र के माध्यम से संख्या 110 लिखेंगे, और फिर हम बलपूर्वक आधार ज्ञात करेंगे।

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

हमें 12 प्राप्त करने की आवश्यकता है। आइए 2: 2 2 + 2 = 6 का प्रयास करें। 3: 3 2 + 3 = 12 का प्रयास करें।

इसका मतलब यह है कि संख्या प्रणाली का आधार 3 है।

उत्तर।संख्या प्रणाली का आवश्यक आधार 3 है।

कार्य 4.किस संख्या प्रणाली में दशमलव संख्या 173 को 445 के रूप में दर्शाया जाएगा?

समाधान.
आइए हम अज्ञात आधार को X के रूप में निरूपित करें। हम निम्नलिखित समीकरण लिखते हैं:
173 10 = 4*एक्स 2 + 4*एक्स 1 + 5*एक्स 0
इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि शून्य घात की कोई भी सकारात्मक संख्या 1 के बराबर है, हम समीकरण को फिर से लिखेंगे (हम आधार 10 को इंगित नहीं करेंगे)।
173 = 4*एक्स 2 + 4*एक्स + 5
बेशक, ऐसे द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन इसका एक सरल समाधान भी है। दायीं और बायीं ओर से 4 घटाने पर हमें प्राप्त होता है
169 = 4*एक्स 2 + 4*एक्स + 1 या 13 2 = (2*एक्स+1) 2
यहां से हमें 2*X +1 = 13 मिलता है (हम नकारात्मक मूल को हटा देते हैं)। या एक्स = 6.
उत्तर: 173 10 = 445 6

संख्या प्रणालियों के अनेक आधार खोजने में समस्याएँ

समस्याओं का एक समूह है जिसमें आपको संख्या प्रणालियों के सभी आधारों को (आरोही या अवरोही क्रम में) सूचीबद्ध करने की आवश्यकता होती है जिसमें किसी दी गई संख्या का प्रतिनिधित्व किसी दिए गए अंक के साथ समाप्त होता है। यह समस्या काफी सरलता से हल हो गई है। सबसे पहले आपको दिए गए अंक को मूल संख्या से घटाना होगा।परिणामी संख्या संख्या प्रणाली का पहला आधार होगी। और अन्य सभी आधार केवल इस संख्या के विभाजक हो सकते हैं। (यह कथन संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के नियम के आधार पर सिद्ध होता है - पैराग्राफ 4 देखें)। बस इतना याद रखें संख्या प्रणाली का आधार किसी दिए गए अंक से कम नहीं हो सकता!

उदाहरण
अल्पविराम से अलग, आरोही क्रम में, संख्या प्रणालियों के सभी आधारों को इंगित करें जिनमें संख्या 24 3 में समाप्त होती है।

समाधान
24 – 3 =21 पहला आधार है (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24)।
21, 3 और 7 से विभाज्य है। संख्या 3 उपयुक्त नहीं है, क्योंकि आधार 3 संख्या प्रणाली में कोई अंक 3 नहीं है।
उत्तर: 7, 21

संख्या प्रणाली की बुनियादी अवधारणाएँ

संख्या प्रणाली डिजिटल वर्णों के एक सेट का उपयोग करके संख्याएँ लिखने के लिए नियमों और तकनीकों का एक समूह है। किसी प्रणाली में किसी संख्या को लिखने के लिए आवश्यक अंकों की संख्या को संख्या प्रणाली का आधार कहा जाता है। सिस्टम का आधार सबस्क्रिप्ट में संख्या के दाईं ओर लिखा गया है: ; ; वगैरह।

संख्या प्रणालियाँ दो प्रकार की होती हैं:

स्थितीय, जब किसी संख्या के प्रत्येक अंक का मान संख्या रिकॉर्ड में उसकी स्थिति से निर्धारित होता है;

गैर-स्थितीय, जब किसी संख्या में किसी अंक का मान संख्या के अंकन में उसके स्थान पर निर्भर नहीं करता है।

गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली का एक उदाहरण रोमन है: संख्या IX, IV, XV, आदि। स्थितीय संख्या प्रणाली का एक उदाहरण प्रतिदिन उपयोग की जाने वाली दशमलव प्रणाली है।

स्थितीय प्रणाली में किसी भी पूर्णांक को बहुपद रूप में लिखा जा सकता है:

जहाँ S संख्या प्रणाली का आधार है;

किसी दी गई संख्या प्रणाली में लिखी गई संख्या के अंक;

n संख्या के अंकों की संख्या है.

उदाहरण। संख्या बहुपद रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा:

संख्या प्रणाली के प्रकार

रोमन संख्या प्रणाली एक गैर-स्थितीय प्रणाली है। यह संख्याएँ लिखने के लिए लैटिन वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करता है। इस मामले में, अक्षर I का मतलब हमेशा एक होता है, अक्षर V का मतलब पांच होता है, X का मतलब दस होता है, L का मतलब पचास होता है, C का मतलब एक सौ होता है, D का मतलब पांच सौ होता है, M का मतलब एक हजार होता है, आदि। उदाहरण के लिए, संख्या 264 को CCLXIV के रूप में लिखा गया है। रोमन संख्या प्रणाली में संख्याएँ लिखते समय किसी संख्या का मान उसमें शामिल अंकों का बीजगणितीय योग होता है। इस मामले में, संख्या रिकॉर्ड में अंक, एक नियम के रूप में, उनके मूल्यों के अवरोही क्रम में होते हैं, और इसे एक साथ तीन समान अंकों से अधिक लिखने की अनुमति नहीं है। जब बड़े मान वाले अंक के बाद छोटे मान वाला अंक आता है, तो संपूर्ण संख्या के मान में इसका योगदान नकारात्मक होता है। रोमन अंक प्रणाली में संख्याएँ लिखने के सामान्य नियमों को दर्शाने वाले विशिष्ट उदाहरण तालिका में दिए गए हैं।

तालिका 2. रोमन अंक प्रणाली में संख्याएँ लिखना

		तृतीय
	सातवीं	आठवीं
	तेरहवें	XVIII	उन्नीसवीं	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	एमसीसीVII
2045	3555	3678	3900	3999
एमएमएक्सएलवी	एमएमएमडीएलवी	MMMDCLXXVIII	एमएमएमसीएम	MMMCMXCIX

रोमन प्रणाली का नुकसान संख्याओं को लिखने के लिए औपचारिक नियमों की कमी है और, तदनुसार, बहु-अंकीय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संचालन। इसकी असुविधा और बड़ी जटिलता के कारण, रोमन संख्या प्रणाली का उपयोग वर्तमान में किया जाता है जहां यह वास्तव में सुविधाजनक है: साहित्य में (अध्याय संख्या), दस्तावेजों के डिजाइन में (पासपोर्ट श्रृंखला, प्रतिभूतियां, आदि), घड़ी डायल पर सजावटी उद्देश्यों के लिए और कई अन्य मामलों में.

दशमलव संख्या प्रणाली वर्तमान में सबसे प्रसिद्ध और उपयोग की जाने वाली प्रणाली है। दशमलव संख्या प्रणाली का आविष्कार मानव विचार की मुख्य उपलब्धियों में से एक है। इसके बिना, आधुनिक तकनीक का अस्तित्व ही नहीं, अस्तित्व में आना तो दूर की बात है। दशमलव संख्या प्रणाली के आम तौर पर स्वीकृत होने का कारण बिल्कुल भी गणितीय नहीं है। लोग दशमलव संख्या प्रणाली में गिनती करने के आदी होते हैं क्योंकि उनके हाथों में 10 उंगलियां होती हैं।

दशमलव अंकों की प्राचीन छवि (चित्र 1) आकस्मिक नहीं है: प्रत्येक अंक अपने कोणों की संख्या के आधार पर एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, 0 - कोई कोना नहीं, 1 - एक कोना, 2 - दो कोना, आदि। दशमलव संख्याओं के लेखन में महत्वपूर्ण परिवर्तन आये हैं। हम जिस फॉर्म का उपयोग करते हैं वह 16वीं शताब्दी में स्थापित किया गया था।

दशमलव प्रणाली पहली बार भारत में छठी शताब्दी ईस्वी के आसपास दिखाई दी। भारतीय क्रमांकन में रिक्त स्थान को इंगित करने के लिए नौ संख्यात्मक वर्णों और एक शून्य का उपयोग किया जाता था। आरंभिक भारतीय पांडुलिपियों में जो हमारे पास आई हैं, संख्याओं को उल्टे क्रम में लिखा गया था - सबसे महत्वपूर्ण संख्या को दाईं ओर रखा गया था। लेकिन जल्द ही ऐसे नंबर को बाईं ओर रखने का नियम बन गया। शून्य प्रतीक को विशेष महत्व दिया गया था, जिसे स्थितीय संकेतन प्रणाली के लिए पेश किया गया था। शून्य सहित भारतीय अंकन आज तक जीवित है। यूरोप में, दशमलव अंकगणित की हिंदू विधियाँ 13वीं शताब्दी की शुरुआत में व्यापक हो गईं। पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो (फाइबोनैचि) के काम के लिए धन्यवाद। यूरोपीय लोगों ने भारतीय संख्या प्रणाली को अरबों से उधार लिया और इसे अरबी कहा। यह ऐतिहासिक मिथ्या नाम आज भी जारी है।

दशमलव प्रणाली किसी संख्या के चिह्न को इंगित करने के लिए दस अंकों - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 - के साथ-साथ "+" और "-" प्रतीकों का उपयोग करती है, और एक पूर्णांक और दशमलव भागों को अलग करने के लिए अल्पविराम या अवधि। संख्याएँ।

कंप्यूटर एक बाइनरी संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं, इसका आधार संख्या 2 है। इस प्रणाली में संख्याओं को लिखने के लिए केवल दो अंकों का उपयोग किया जाता है - 0 और 1। लोकप्रिय गलत धारणा के विपरीत, बाइनरी संख्या प्रणाली का आविष्कार कंप्यूटर डिज़ाइन इंजीनियरों द्वारा नहीं किया गया था, बल्कि गणितज्ञ और दार्शनिक कंप्यूटर के उद्भव से बहुत पहले, 17वीं-19वीं शताब्दी में। बाइनरी संख्या प्रणाली की पहली प्रकाशित चर्चा स्पेनिश पुजारी जुआन कारमुएल लोबकोविट्ज़ (1670) द्वारा की गई है। इस प्रणाली की ओर सामान्य ध्यान 1703 में प्रकाशित जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज के एक लेख ने आकर्षित किया था। इसमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग के द्विआधारी संचालन की व्याख्या की गई थी। लाइबनिज़ ने व्यावहारिक गणनाओं के लिए इस प्रणाली के उपयोग की अनुशंसा नहीं की, लेकिन सैद्धांतिक अनुसंधान के लिए इसके महत्व पर जोर दिया। समय के साथ, बाइनरी संख्या प्रणाली प्रसिद्ध हो गई और विकसित हुई।

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में उपयोग के लिए बाइनरी सिस्टम की पसंद को इस तथ्य से समझाया गया है कि इलेक्ट्रॉनिक तत्व - ट्रिगर जो कंप्यूटर चिप्स बनाते हैं - केवल दो ऑपरेटिंग स्थितियों में हो सकते हैं।

बाइनरी कोडिंग प्रणाली का उपयोग करके, आप किसी भी डेटा और ज्ञान को कैप्चर कर सकते हैं। यह समझना आसान है अगर हम मोर्स कोड का उपयोग करके एन्कोडिंग और सूचना प्रसारित करने के सिद्धांत को याद करते हैं। एक टेलीग्राफ ऑपरेटर, इस वर्णमाला के केवल दो प्रतीकों - बिंदु और डैश का उपयोग करके, लगभग किसी भी पाठ को प्रसारित कर सकता है।

बाइनरी सिस्टम कंप्यूटर के लिए सुविधाजनक है, लेकिन किसी व्यक्ति के लिए असुविधाजनक है: संख्याएँ लंबी होती हैं और लिखना और याद रखना मुश्किल होता है। बेशक, आप संख्या को दशमलव प्रणाली में परिवर्तित कर सकते हैं और इसे इस रूप में लिख सकते हैं, और फिर, जब आपको इसे वापस बदलने की आवश्यकता हो, लेकिन ये सभी अनुवाद श्रम-केंद्रित हैं। इसलिए, बाइनरी से संबंधित संख्या प्रणालियों का उपयोग किया जाता है - ऑक्टल और हेक्साडेसिमल। इन प्रणालियों में संख्याएँ लिखने के लिए क्रमशः 8 और 16 अंकों की आवश्यकता होती है। हेक्साडेसिमल में, पहले 10 अंक सामान्य होते हैं, और फिर बड़े लैटिन अक्षरों का उपयोग किया जाता है। हेक्साडेसिमल अंक ए दशमलव संख्या 10 से मेल खाता है, हेक्साडेसिमल बी दशमलव संख्या 11 आदि से मेल खाता है। इन प्रणालियों के उपयोग को इस तथ्य से समझाया गया है कि इनमें से किसी भी प्रणाली में किसी संख्या को उसके बाइनरी नोटेशन से लिखने का संक्रमण बहुत सरल है। नीचे विभिन्न प्रणालियों में लिखी संख्याओं के बीच पत्राचार की एक तालिका दी गई है।

तालिका 3. विभिन्न संख्या प्रणालियों में लिखी गई संख्याओं का पत्राचार

दशमलव	द्विआधारी	अष्टभुजाकार	हेक्साडेसिमल
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		डी http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के नियम

संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना मशीन अंकगणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। आइए अनुवाद के बुनियादी नियमों पर विचार करें।

1. किसी द्विआधारी संख्या को दशमलव में बदलने के लिए, इसे बहुपद के रूप में लिखना आवश्यक है, जिसमें संख्या के अंकों और 2 की संगत शक्ति के उत्पाद शामिल हैं, और नियमों के अनुसार इसकी गणना करें दशमलव अंकगणित:

अनुवाद करते समय, दो की घातों की तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है:

तालिका 4. संख्या 2 की शक्तियाँ

एन (डिग्री)
											1024

उदाहरण। संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें.

2. किसी अष्टक संख्या को दशमलव संख्या में बदलने के लिए, इसे एक बहुपद के रूप में लिखना आवश्यक है जिसमें संख्या के अंकों और संख्या 8 की संगत घात के गुणनफल शामिल हों, और दशमलव के नियमों के अनुसार इसकी गणना करें। अंकगणित:

अनुवाद करते समय आठ की घातों की तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है:

तालिका 5. संख्या 8 की शक्तियाँ

एन (डिग्री)

कैलकुलेटर आपको पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में बदलने की अनुमति देता है। संख्या प्रणाली का आधार 2 से कम और 36 से अधिक (आख़िरकार 10 अंक और 26 लैटिन अक्षर) नहीं हो सकता। संख्याओं की लंबाई 30 वर्णों से अधिक नहीं होनी चाहिए. भिन्नात्मक संख्याएँ दर्ज करने के लिए, प्रतीक का उपयोग करें। या, । किसी संख्या को एक प्रणाली से दूसरी प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए, पहले क्षेत्र में मूल संख्या, दूसरे में मूल संख्या प्रणाली का आधार और तीसरे क्षेत्र में उस संख्या प्रणाली का आधार दर्ज करें जिसमें आप संख्या को परिवर्तित करना चाहते हैं। फिर "रिकॉर्ड प्राप्त करें" बटन पर क्लिक करें।

मूल संख्या 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 में लिखा गया है -वें संख्या प्रणाली.

मैं एक नंबर लिखवाना चाहता हूं 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -वें संख्या प्रणाली.

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अनुवाद पूर्ण: 3722471

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संख्या प्रणाली

संख्या प्रणालियों को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है: अवस्था काऔर स्थितीय नहीं. हम अरबी प्रणाली का उपयोग करते हैं, यह स्थितिगत है, लेकिन रोमन प्रणाली भी है - यह स्थितिगत नहीं है। स्थितीय प्रणालियों में, किसी संख्या में एक अंक की स्थिति विशिष्ट रूप से उस संख्या का मान निर्धारित करती है। उदाहरण के तौर पर कुछ संख्याओं को देखकर इसे समझना आसान है।

उदाहरण 1. आइए दशमलव संख्या प्रणाली में संख्या 5921 लें। आइए किसी संख्या को शून्य से शुरू करके दाएं से बाएं ओर क्रमांकित करें:

संख्या 5921 को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0. संख्या 10 एक विशेषता है जो संख्या प्रणाली को परिभाषित करती है। किसी दी गई संख्या की स्थिति के मान को घात के रूप में लिया जाता है।

उदाहरण 2. वास्तविक दशमलव संख्या 1234.567 पर विचार करें। आइए इसे संख्या की शून्य स्थिति से शुरू करके दशमलव बिंदु से बाएँ और दाएँ तक क्रमांकित करें:

संख्या 1234.567 को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

संख्याओं को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना

अधिकांश सरल तरीके सेकिसी संख्या को एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना पहले संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना है, और फिर परिणामी परिणाम को आवश्यक संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना है।

किसी भी संख्या प्रणाली से संख्याओं को दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना

किसी संख्या को किसी भी संख्या प्रणाली से दशमलव में बदलने के लिए, उदाहरण 1 या 2 के समान शून्य (दशमलव बिंदु के बाईं ओर का अंक) से शुरू करके, उसके अंकों को क्रमांकित करना पर्याप्त है। आइए अंकों के उत्पादों का योग ज्ञात करें संख्या प्रणाली के आधार से इस अंक की स्थिति की घात तक संख्या का:

1. संख्या 1001101.1101 2 को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें।
समाधान: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
उत्तर: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. संख्या E8F.2D 16 को दशमलव संख्या प्रणाली में बदलें।
समाधान: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
उत्तर: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

संख्याओं को दशमलव संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना

संख्याओं को दशमलव संख्या प्रणाली से किसी अन्य संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए, संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग परिवर्तित किया जाना चाहिए।

किसी संख्या के पूर्णांक भाग को दशमलव संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना

किसी संख्या के पूर्णांक भाग को संख्या प्रणाली के आधार से क्रमिक रूप से विभाजित करके एक पूर्णांक भाग को दशमलव संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित किया जाता है जब तक कि एक संपूर्ण शेष प्राप्त न हो जाए जो संख्या प्रणाली के आधार से कम हो। अनुवाद का परिणाम अंतिम से शुरू करके शेष का रिकॉर्ड होगा।

3. संख्या 273 10 को अष्टक संख्या प्रणाली में बदलें।
समाधान: 273 / 8 = 34 और शेष 1. 34 / 8 = 4 और शेष 2. 4, 8 से कम है, इसलिए गणना पूरी हो गई है। शेष राशि से रिकॉर्ड इस तरह दिखेगा: 421
इंतिहान: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, परिणाम वही है। इसका मतलब यह है कि अनुवाद सही ढंग से किया गया है.
उत्तर: 273 10 = 421 8

आइए विभिन्न संख्या प्रणालियों में नियमित दशमलव अंशों के अनुवाद पर विचार करें।

किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग को दशमलव संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना

याद रखें कि उचित दशमलव भिन्न कहलाता है शून्य पूर्णांक भाग के साथ वास्तविक संख्या. ऐसी संख्या को आधार N वाली संख्या प्रणाली में बदलने के लिए, आपको क्रमिक रूप से संख्या को N से गुणा करना होगा जब तक कि आंशिक भाग शून्य न हो जाए या अंकों की आवश्यक संख्या प्राप्त न हो जाए। यदि गुणन के दौरान शून्य के अलावा पूर्णांक भाग वाली कोई संख्या प्राप्त होती है, तो पूर्णांक भाग को आगे ध्यान में नहीं रखा जाता है, क्योंकि यह क्रमिक रूप से परिणाम में दर्ज किया जाता है।

4. संख्या 0.125 10 को बाइनरी संख्या प्रणाली में बदलें।
समाधान: 0.125·2 = 0.25 (0 पूर्णांक भाग है, जो परिणाम का पहला अंक बनेगा), 0.25·2 = 0.5 (0 परिणाम का दूसरा अंक है), 0.5·2 = 1.0 (1 तीसरा अंक है) परिणाम का, और चूंकि भिन्नात्मक भाग शून्य है, तो अनुवाद पूरा हो गया है)।
उत्तर: 0.125 10 = 0.001 2