परिधि एक दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं के संग्रह को कहा जाता है वृत्त का केंद्र.वृत्त के केंद्र से वृत्त पर किसी बिंदु तक की दूरी कहलाती है . वृत्त की त्रिज्या.
- एक वृत्त का विहित समीकरण (16) - वृत्त का केंद्र।
यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, तो वृत्त का समीकरण है (16 .)
अंडाकारविमान के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से दूरियों का योग (कहा जाता है)। चालइस दीर्घवृत्त का) एक स्थिर मान है।
इन (0;बी)एम(एक्स,वाई)
आर 1 आर 2 आर 1 +आर 2 =2ए
(-ए;0) एफ 1 (-सी;0) 0 एफ 2 (सी;0) (ए;0) एक्स
आइए संक्षिप्तता के लिए a 2 -b 2 =c 2 (*) को निरूपित करें, तो दीर्घवृत्त का समीकरण है: (17)
यदि आप y=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है, और यदि आप x=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है; इसका मतलब यह है कि और दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों की लंबाई हैं - बड़ा() और छोटा(). इसके अलावा, बाईं ओर का प्रत्येक पद एक से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए , , और इसलिए संपूर्ण दीर्घवृत्त आयत के अंदर स्थित है। अंक ए, बी, सी, डी, जिसमें दीर्घवृत्त अपनी सममिति अक्षों को प्रतिच्छेद करता है, कहलाता है दीर्घवृत्त के शीर्ष.
नज़रिया 
दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहलाती है।
अतिशयोक्ति विमान के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से दूरियों के अंतर का मापांक (कहा जाता है) चालइस अतिपरवलय का) एक स्थिर मान है। नाभियों के बीच की दूरी का मध्यबिंदु कहलाता है हाइपरबोला का केंद्र.
आर 2 आर 1 –आर 2 =2ए
एफ 1 (-सी;0) 0 एफ 2 (सी;0) एक्स
आइए हम हाइपरबोला समीकरण को 2 -c 2 = -b 2 (**) निरूपित करें: (18)
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि एक हाइपरबोला में समरूपता के दो अक्ष (मुख्य अक्ष) होते हैं, साथ ही समरूपता का एक केंद्र (हाइपरबोला का केंद्र) भी होता है।
नज़रिया 
हाइपरबोला की विलक्षणता कहलाती है।
यदि आप y=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है, और यदि आप x=0 डालते हैं, तो आपको मिलता है।
इसका मतलब है कि ऑक्स अक्ष हाइपरबोला को दो बिंदुओं (हाइपरबोला के शीर्ष) पर काटता है, यह है - वास्तविक अक्ष; ओए अक्ष हाइपरबोला को नहीं काटता - यह है " काल्पनिक धुरी. "हाइपरबोला के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई भी खंड, यदि वह केंद्र से होकर गुजरता है, कहलाता है हाइपरबोला का व्यास.
एक सीधी रेखा जिसके पास एक घुमावदार रेखा इच्छानुसार करीब आती है लेकिन उसे कभी काटती नहीं है, कहलाती है वक्र का स्पर्शोन्मुख.हाइपरबोला में दो अनंतस्पर्शी होते हैं। उनके समीकरण हैं: (19)
परवलय समतल पर सभी बिंदुओं का संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक से एक दिए गए बिंदु की दूरी (कहा जाता है) केंद्र)किसी दी गई सीधी रेखा की दूरी के बराबर (कहा जाता है प्रधानाध्यापिका).
- परवलय पैरामीटर.
परवलय में सममिति का एक अक्ष होता है। सममिति अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को कहा जाता है परवलय का शीर्ष.
मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ऑक्स अक्ष है और दाईं ओर निर्देशित शाखाओं का रूप है (20)
उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:
मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ऑक्स अक्ष है और बाईं ओर निर्देशित शाखाओं का रूप है 
(20 ,)
उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:
मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ओए अक्ष है और शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, का रूप होता है 
(20 ,)
उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:
मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का विहित समीकरण, जिसकी समरूपता की धुरी ओए अक्ष है और शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, का रूप होता है (20 ,)
उसकी प्रधानाध्यापिका का समीकरण:
Y y
एफ 0 पी/2 एक्स -पी/2 0 एक्स
Y y
पी/2
-पी/2
विषय 2.1. व्याख्यान 7. पाठ 10
विषय: एक स्वतंत्र चर के कार्य, उनके ग्राफ़।
कार्य की अवधारणा
बुनियादी गणितीय अवधारणाओं में से एक फ़ंक्शन की अवधारणा है। किसी फ़ंक्शन की अवधारणा दो सेटों के तत्वों के बीच निर्भरता (संबंध) स्थापित करने से जुड़ी है।
मान लीजिए कि दो गैर-रिक्त सेट X और Y दिए गए हैं। पत्राचार ƒ, जो प्रत्येक तत्व xO : एक्स→वाई. वे यह भी कहते हैं कि फ़ंक्शन सेट X को सेट Y से मैप करता है।
उदाहरण के लिए, चित्र 98 ए और बी में दिखाए गए पत्राचार और जी फ़ंक्शन हैं, लेकिन चित्र 98 सी और डी में दिखाए गए अनुरूप नहीं हैं। मामले में - प्रत्येक तत्व xÎX एक तत्व yÎY से मेल नहीं खाता है। मामले डी में, विशिष्टता की शर्त पूरी नहीं होती है।
सेट X को फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है और इसे D(f) से दर्शाया जाता है। सभी уОY के समुच्चय को फ़ंक्शन के मानों का समुच्चय कहा जाता है और इसे E(ƒ) से दर्शाया जाता है।
संख्यात्मक कार्य. फ़ंक्शन ग्राफ़. कार्यों को निर्दिष्ट करने की विधियाँ
मान लीजिए एक फलन ƒ : X→Y दिया गया है।
यदि समुच्चय भविष्य में हम (एक नियम के रूप में) संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करेंगे; संक्षिप्तता के लिए हम उन्हें केवल फ़ंक्शन कहेंगे और y = ƒ (x) लिखेंगे।
चर x को एक तर्क या स्वतंत्र चर कहा जाता है, और y को एक फ़ंक्शन या आश्रित चर (x का) कहा जाता है। स्वयं x और y मात्राओं के संबंध में, उन्हें कार्यात्मक रूप से निर्भर कहा जाता है। कभी-कभी x पर y की कार्यात्मक निर्भरता को y = y (x) के रूप में लिखा जाता है, निर्भरता को दर्शाने के लिए कोई नया अक्षर (˒) डाले बिना।
निजी मूल्य x=a के लिए फ़ंक्शंस ƒ(x) इस प्रकार लिखे गए हैं: ƒ(a)। उदाहरण के लिए, यदि ƒ(x)=2x 2 -3, तो ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.
फ़ंक्शन ग्राफ़ y=(x) ऑक्सी तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक के लिए x तर्क का मान है, और y फ़ंक्शन का संगत मान है।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=√(1-2) का ग्राफ त्रिज्या R=1 का ऊपरी अर्धवृत्त है जिसका केंद्र O(0;0) है (चित्र 99 देखें)।
फ़ंक्शन y=ƒ(x) सेट करने के लिए, एक नियम निर्दिष्ट करना आवश्यक है जो x को जानकर, y का संगत मान ज्ञात करने की अनुमति देता है।
किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के सबसे आम तीन तरीके हैं: विश्लेषणात्मक, सारणीबद्ध और ग्राफिकल।
विश्लेषणात्मक विधि: एक फ़ंक्शन को एक या अधिक सूत्रों या समीकरणों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।
यदि फ़ंक्शन y = ƒ(x) की परिभाषा का डोमेन निर्दिष्ट नहीं है, तो यह माना जाता है कि यह तर्क के सभी मानों के सेट से मेल खाता है जिसके लिए संबंधित सूत्र समझ में आता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = √(1-x2) की परिभाषा का क्षेत्र खंड [-1; 1].
किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विश्लेषणात्मक विधि सबसे उन्नत है, क्योंकि इसमें गणितीय विश्लेषण के तरीके शामिल हैं जो फ़ंक्शन y=ƒ(x) का पूरी तरह से अध्ययन करना संभव बनाते हैं।
ग्राफ़िकल विधि: फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्दिष्ट किया गया है।
अक्सर ग्राफ़ रिकॉर्डिंग उपकरणों द्वारा स्वचालित रूप से खींचे जाते हैं या डिस्प्ले स्क्रीन पर प्रदर्शित होते हैं। तर्क x के कुछ मानों के अनुरूप फ़ंक्शन y के मान सीधे इस ग्राफ़ से पाए जाते हैं।
ग्राफिक कार्य का लाभ इसकी स्पष्टता है, नुकसान इसकी अशुद्धि है।
सारणीबद्ध विधि: एक फ़ंक्शन को तर्क मानों और संबंधित फ़ंक्शन मानों की एक श्रृंखला की तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों की प्रसिद्ध तालिकाएँ, लघुगणक तालिकाएँ।
व्यवहार में, प्रयोगात्मक रूप से या अवलोकनों के परिणामस्वरूप प्राप्त फ़ंक्शन मानों की तालिकाओं का उपयोग करना अक्सर आवश्यक होता है।
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व्याख्यान संख्या 9. विषय 3: दूसरे क्रम की पंक्तियाँ
मान लीजिए किसी डीएससी में दूसरी-डिग्री समीकरण द्वारा परिभाषित एक रेखा दी गई है
गुणांक कहां हैं 
एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं. इस लाइन को कहा जाता हैवक्र या दूसरी ऑर्डर लाइन.
ऐसा हो सकता है कि कोई अंक न हों 
वास्तविक निर्देशांक संतोषजनक समीकरण (1) के साथ। इस मामले में, यह माना जाता है कि समीकरण (1) दूसरे क्रम की एक काल्पनिक रेखा को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, 
यह एक काल्पनिक वृत्त का समीकरण है.
आइए समीकरण (1) के तीन महत्वपूर्ण विशेष मामलों पर विचार करें।
3.1. अंडाकार
दीर्घवृत्त को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है
(2)
कठिनाइयाँ एऔर बी क्रमशः अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष कहलाते हैं, और समीकरण (2) हैकैनन का दीर्घवृत्त का समीकरण.
चलो रखो 
और अक्ष पर अंकित करेंके बारे में एक्सअंक 
बुलायाचाल दीर्घवृत्त. तब दीर्घवृत्त को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है
बिन्दुओं का बिन्दुपथ, जहाँ से नाभि तक की दूरी का योग एक स्थिर मान के बराबर होता है 2ए.
पर
बी
एम क
— एएफ 1 ओ एफ 2 ए एक्स
— बी
चलिए दिखाते हैं. आइए बात को स्पष्ट करें 
दीर्घवृत्त का वर्तमान बिंदु. इस मामले में हमें मिलता है तब समानता कायम रहनी चाहिए
आइए अभिव्यक्ति (3) को इस रूप में प्रस्तुत करें
और अभिव्यक्ति के दोनों किनारों को वर्गाकार करें
यहीं से हमें मिलता है 
एक बार फिर, आइए इस अभिव्यक्ति को वर्गित करें और संबंध का उपयोग करें 
, तब
(4)
अभिव्यक्ति के दोनों पक्षों (4) को विभाजित करना 
, हम अंततः दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करते हैं 
आइए समीकरण (2) की जाँच करें। यदि हम समीकरण में प्रतिस्थापित करें तो समीकरण (2) नहीं बदलेगा। इसका मतलब यह है कि दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों के बारे में सममित है। इसलिए, आइए हम पहली तिमाही में स्थित दीर्घवृत्त के भाग पर विस्तार से विचार करें। यह समीकरण द्वारा निर्धारित होता है 
यह स्पष्ट है कि दीर्घवृत्त बिंदुओं से होकर गुजरता है 
. पहली तिमाही में योजनाबद्ध निर्माण पूरा करने के बाद, हम सभी तिमाहियों में इसका ग्राफ सममित रूप से प्रदर्शित करेंगे। इस प्रकार, दीर्घवृत्त एक सतत बंद वक्र है। बिन्दु कहलाते हैंदीर्घवृत्त के शीर्ष.
नज़रिया 
बुलायासनकदीर्घवृत्त. दीर्घवृत्त के लिए 
.
प्रत्यक्ष 
कहा जाता हैदीर्घवृत्त की नियताएँ.
डायरेक्ट्रिक्स की निम्नलिखित संपत्ति सत्य है::
दीर्घवृत्त के बिंदुओं के लिए फोकस और नियता से दूरियों का अनुपात विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है, अर्थात। 
यह समानता (3) की तरह ही सिद्ध होता है।
नोट 1। घेरा 
दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है। उसके लिए 
3.2. अतिशयोक्ति
हाइपरबोला के विहित समीकरण का रूप होता है
वे। समीकरण (1) में हमें डालना होगा
कठिनाइयाँ एऔर बी क्रमशः वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्ष कहलाते हैं।
लाना 
, अक्ष पर अंकित करेंके बारे में एक्सअंक 
बुलायाचाल अतिशयोक्ति। तब एक अतिपरवलय को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है
बिन्दुओं का बिन्दुपथ, जहाँ से नाभि तक की दूरी का निरपेक्ष मान में अंतर 2 हैए, अर्थात।
पर
को एम
एफ 1 —ए के बारे में एएफ 2 एक्स
प्रमाण दीर्घवृत्त के समान है। हाइपरबोला समीकरण के रूप के आधार पर, हम यह भी निष्कर्ष निकालते हैं कि इसका ग्राफ समन्वय प्रणाली के अक्षों के संबंध में सममित है। पहली तिमाही में पड़े हाइपरबोला के भाग में समीकरण होता है 
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि पर्याप्त रूप से बड़े के लिएएक्सहाइपरबोला एक सीधी रेखा के करीब है 
. पहली तिमाही में योजनाबद्ध निर्माण के बाद, हम सभी तिमाहियों में ग्राफ़ को सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं।
अंक 
कहा जाता हैचोटियों अतिशयोक्ति। प्रत्यक्ष 
कहा जाता हैस्पर्शोन्मुख - ये वे सीधी रेखाएँ हैं जिनकी ओर हाइपरबोला की शाखाएँ उन्हें काटे बिना झुकती हैं।
रिश्ता कहलाता हैसनकअतिशयोक्ति। अतिशयोक्ति के लिए 
.
सीधी रेखाएँ कहलाती हैंप्रधानाध्यापिकाएँ अतिशयोक्ति। हाइपरबोला की डायरेक्ट्रिक्स के लिए, दीर्घवृत्त की डायरेक्ट्रिक्स के समान एक संपत्ति होती है।
उदाहरण। उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष नाभि पर हैं, और नाभि हाइपरबोला के शीर्ष पर हैं 
.
शर्त से 
ए
अंततः हम पाते हैं 
10.3. परवलय
परवलय को विहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है 
वे। समीकरण (1) में हमें डालना होगा
को 
गुणकआरबुलाया कोपर
फोकल पैरामीटर. एम
आइए O अक्ष पर निशान लगाएं एक्सबिंदु 
फोकस कहा जाता है
- दीर्घवृत्त;
- परवलय;
- अतिशयोक्ति।
11.1. बुनियादी अवधारणाओं
आइए वर्तमान निर्देशांक के सापेक्ष दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाओं पर विचार करें
समीकरण के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन A, B, या C में से कम से कम एक संख्या शून्येतर है। ऐसी रेखाओं को दूसरे क्रम की रेखाएँ (वक्र) कहा जाता है। नीचे यह स्थापित किया जाएगा कि समीकरण (11.1) समतल पर एक वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय या परवलय को परिभाषित करता है। इस कथन पर आगे बढ़ने से पहले, आइए सूचीबद्ध वक्रों के गुणों का अध्ययन करें।
11.2. घेरा
दूसरे क्रम का सबसे सरल वक्र एक वृत्त है। याद रखें कि एक बिंदु पर केंद्र के साथ त्रिज्या R का एक वृत्त, स्थिति को संतुष्ट करने वाले विमान के सभी बिंदुओं M का समुच्चय है। मान लीजिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु के निर्देशांक x 0, y 0 और - वृत्त पर एक मनमाना बिंदु हैं (चित्र 48 देखें)।
फिर स्थिति से हमें समीकरण प्राप्त होता है
(11.2)
समीकरण (11.2) किसी दिए गए वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।
समीकरण (11.2) कहा जाता है एक वृत्त का विहित समीकरण
विशेष रूप से, सेटिंग और, हम मूल बिंदु पर केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं 
.
सरल परिवर्तनों के बाद वृत्त समीकरण (11.2) का रूप ले लेगा। इस समीकरण की तुलना दूसरे क्रम के वक्र के सामान्य समीकरण (11.1) से करने पर, यह देखना आसान है कि एक वृत्त के समीकरण के लिए दो शर्तें संतुष्ट हैं:
1) x 2 और y 2 के गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं;
2) वर्तमान निर्देशांक के उत्पाद xy वाला कोई सदस्य नहीं है।
आइए उलटी समस्या पर विचार करें। मानों को समीकरण (11.1) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
आइए इस समीकरण को रूपांतरित करें:
(11.4)
यह इस प्रकार है कि समीकरण (11.3) शर्त के तहत एक वृत्त को परिभाषित करता है 
. इसका केंद्र बिंदु पर है 
, और त्रिज्या
.
अगर 
, तो समीकरण (11.3) का रूप है
.
यह एक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है 
. इस मामले में वे कहते हैं: "वृत्त एक बिंदु में बदल गया है" (शून्य त्रिज्या है)।
अगर 
, तो समीकरण (11.4), और इसलिए समतुल्य समीकरण (11.3), किसी भी रेखा को परिभाषित नहीं करेगा, क्योंकि समीकरण (11.4) का दायां पक्ष नकारात्मक है, और बायां नकारात्मक नहीं है (मान लें: "एक काल्पनिक वृत्त")।
11.3. अंडाकार
विहित दीर्घवृत्त समीकरण
अंडाकार किसी समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय, जिनमें से प्रत्येक से इस समतल के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग कहा जाता है चाल , नाभियों के बीच की दूरी से अधिक एक स्थिर मान है।
आइए हम फोकसों को इससे निरूपित करें एफ 1और एफ 2, उनके बीच की दूरी 2 है सी, और दीर्घवृत्त के एक मनमाने बिंदु से नाभि तक की दूरी का योग - 2 में ए(चित्र 49 देखें)। परिभाषा के अनुसार 2 ए > 2सी, अर्थात। ए
> सी.
दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि नाभियाँ एफ 1और एफ 2अक्ष पर स्थित था, और मूल खंड के मध्य से मेल खाता था एफ 1 एफ 2. तब foci में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: और।
मान लीजिए दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर, दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात्।
यह, संक्षेप में, एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।
आइए समीकरण (11.5) को इस प्रकार सरल रूप में बदलें:
क्योंकि ए>साथ, वह । चलो रखो
(11.6)
तब अंतिम समीकरण या का रूप लेगा
(11.7)
यह सिद्ध किया जा सकता है कि समीकरण (11.7) मूल समीकरण के समतुल्य है। यह कहा जाता है विहित दीर्घवृत्त समीकरण .
दीर्घवृत्त दूसरे क्रम का वक्र है।
किसी दीर्घवृत्त के समीकरण का उपयोग करके उसके आकार का अध्ययन करना
आइए हम इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।
1. समीकरण (11.7) में x और y केवल सम घातों में हैं, इसलिए यदि कोई बिंदु दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो बिंदु भी उसी से संबंधित हैं। इससे यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त और अक्षों के साथ-साथ उस बिंदु के संबंध में भी सममित है, जिसे दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है।
2. निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। रखने पर, हमें दो बिंदु मिलते हैं और, जिस पर अक्ष दीर्घवृत्त को काटता है (चित्र 50 देखें)। समीकरण (11.7) में रखने पर, हम अक्ष के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: और। अंक ए 1 ,
ए 2 , बी 1, बी 2कहा जाता है दीर्घवृत्त के शीर्ष. सेगमेंट ए 1 ए 2और बी 1 बी 2, साथ ही उनकी लंबाई 2 एऔर 2 बीतदनुसार बुलाया जाता है प्रमुख और लघु अक्षदीर्घवृत्त. नंबर एऔर बीक्रमशः बड़े और छोटे कहलाते हैं धुरा शाफ्टदीर्घवृत्त.
3. समीकरण (11.7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि बायीं ओर का प्रत्येक पद एक से अधिक नहीं है, अर्थात्। असमानताएँ और या और घटित होती हैं। परिणामस्वरूप, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित आयत के अंदर स्थित होते हैं।
4. समीकरण (11.7) में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग एक के बराबर है। नतीजतन, जैसे-जैसे एक पद बढ़ता है, दूसरा घटता जाएगा, यानी यदि यह बढ़ता है, तो यह घटता है और इसके विपरीत।
उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र में दिखाया गया है। 50 (अंडाकार बंद वक्र).
अतिरिक्त जानकारीदीर्घवृत्त के बारे में
दीर्घवृत्त का आकार अनुपात पर निर्भर करता है। जब दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है, तो दीर्घवृत्त का समीकरण (11.7) रूप ले लेता है। अनुपात का उपयोग अक्सर दीर्घवृत्त के आकार को दर्शाने के लिए किया जाता है। दीर्घवृत्त की नाभि और अर्ध-प्रमुख अक्ष के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और o6o को अक्षर ε ("एप्सिलॉन") द्वारा दर्शाया जाता है:
0 के साथ<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
इससे पता चलता है कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, दीर्घवृत्त उतना ही कम चपटा होगा; यदि हम ε = 0 सेट करते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।
मान लीजिए M(x;y) नाभि F 1 और F 2 के साथ दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 51 देखें)। खंड F 1 M = r 1 और F 2 M = r 2 खंडों की लंबाई को बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। ज़ाहिर तौर से,
सूत्र धारण करते हैं
सीधी रेखाएँ कहलाती हैं
प्रमेय 11.1.यदि दीर्घवृत्त के एक मनमाने बिंदु से किसी फोकस की दूरी है, d उसी बिंदु से इस फोकस के अनुरूप नियता की दूरी है, तो अनुपात दीर्घवृत्त की विलक्षणता के बराबर एक स्थिर मान है:
समानता (11.6) से यह निष्कर्ष निकलता है कि। यदि, तो समीकरण (11.7) एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसका प्रमुख अक्ष ओए अक्ष पर स्थित है, और लघु अक्ष ऑक्स अक्ष पर है (चित्र 52 देखें)। ऐसे दीर्घवृत्त का फोकस बिन्दुओं और पर होता है 
.
11.4. अतिशयोक्ति
विहित अतिपरवलय समीकरण
अतिशयोक्ति विमान के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, उनमें से प्रत्येक से इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक कहा जाता है चाल , नाभियों के बीच की दूरी से कम एक स्थिर मान है।
आइए हम फोकसों को इससे निरूपित करें एफ 1और एफ 2उनके बीच की दूरी है 2s, और हाइपरबोला के प्रत्येक बिंदु से लेकर नाभि तक की दूरी में अंतर का मापांक 2ए. ए-प्राथमिकता 2ए < 2s, अर्थात। ए < सी.
हाइपरबोला समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि नाभियाँ एफ 1और एफ 2अक्ष पर स्थित था, और मूल खंड के मध्य से मेल खाता था एफ 1 एफ 2(चित्र 53 देखें)। तब foci के पास निर्देशांक होंगे और
मान लीजिए कि यह अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु है। फिर, हाइपरबोला की परिभाषा के अनुसार 
या, यानी सरलीकरण के बाद, जैसा कि दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करते समय किया गया था, हम प्राप्त करते हैं
विहित अतिपरवलय समीकरण
(11.9)
(11.10)
हाइपरबोला दूसरे क्रम की एक पंक्ति है।
हाइपरबोला के समीकरण का उपयोग करके उसके आकार का अध्ययन करना
आइए हम हाइपरबोला के कैकोनिकल समीकरण का उपयोग करके उसका रूप स्थापित करें।
1. समीकरण (11.9) में x और y केवल सम घातों में हैं। नतीजतन, हाइपरबोला अक्षों और के साथ-साथ बिंदु के बारे में सममित है, जिसे कहा जाता है अतिपरवलय का केंद्र.
2. निर्देशांक अक्षों के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। समीकरण (11.9) में रखने पर, हम अक्ष के साथ हाइपरबोला के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु पाते हैं: और। (11.9) डालने पर हमें मिलता है, जो नहीं हो सकता। इसलिए, हाइपरबोला ओए अक्ष को नहीं काटता है।
बिन्दु कहलाते हैं चोटियों अतिपरवलय, और खंड
वास्तविक अक्ष , रेखा खंड - वास्तविक अर्ध-अक्ष अतिशयोक्ति।
बिन्दुओं को जोड़ने वाला खण्ड कहलाता है काल्पनिक धुरी , संख्या बी - काल्पनिक अर्ध-अक्ष . भुजाओं वाला आयत 2एऔर 2 बीबुलाया अतिपरवलय का मूल आयत .
3. समीकरण (11.9) से यह पता चलता है कि न्यूनतम एक से कम नहीं है, अर्थात, या। इसका मतलब यह है कि हाइपरबोला के बिंदु रेखा के दाईं ओर (हाइपरबोला की दाईं शाखा) और रेखा के बाईं ओर (हाइपरबोला की बाईं शाखा) स्थित हैं।
4. हाइपरबोला के समीकरण (11.9) से यह स्पष्ट है कि जब यह बढ़ता है, तो यह बढ़ता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि अंतर एक के बराबर स्थिर मान बनाए रखता है।
ऊपर से यह निष्कर्ष निकलता है कि हाइपरबोला का रूप चित्र 54 (दो असीमित शाखाओं से युक्त एक वक्र) में दिखाया गया है।
अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख
सीधी रेखा L को अनंतस्पर्शी रेखा कहते हैं 
एक असीमित वक्र K की, यदि वक्र K के बिंदु M से इस सीधी रेखा की दूरी d शून्य हो जाती है, जब मूल बिंदु से वक्र K के अनुदिश बिंदु M की दूरी असीमित है। चित्र 55 एक अनंतस्पर्शी की अवधारणा का एक उदाहरण प्रदान करता है: सीधी रेखा L वक्र K के लिए एक अनंतस्पर्शी है।
आइए हम दिखाएं कि हाइपरबोला में दो अनंतस्पर्शी हैं:
(11.11)
चूँकि सीधी रेखाएँ (11.11) और हाइपरबोला (11.9) निर्देशांक अक्षों के संबंध में सममित हैं, इसलिए संकेतित रेखाओं के केवल उन बिंदुओं पर विचार करना पर्याप्त है जो पहली तिमाही में स्थित हैं।
आइए हम एक सीधी रेखा पर एक बिंदु N लें जिसका भुज x हाइपरबोला पर बिंदु के समान हो 
(चित्र 56 देखें), और सीधी रेखा के निर्देशांक और हाइपरबोला की शाखा के बीच अंतर ΜΝ ज्ञात करें:
जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे x बढ़ता है, भिन्न का हर बढ़ता है; अंश एक स्थिर मान है. इसलिए, खंड की लंबाई 
ΜΝ शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। चूँकि MΝ बिंदु M से रेखा की दूरी d से अधिक है, तो d शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। तो, रेखाएँ हाइपरबोला (11.9) की अनंतस्पर्शी हैं।
हाइपरबोला (11.9) का निर्माण करते समय, यह सलाह दी जाती है कि पहले हाइपरबोला के मुख्य आयत का निर्माण करें (चित्र 57 देखें), इस आयत के विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली सीधी रेखाएँ खींचें - हाइपरबोला के अनंतस्पर्शी और शीर्षों को चिह्नित करें और, अतिपरवलय का.
समबाहु अतिपरवलय का समीकरण.
जिसके अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्ष हैं
हाइपरबोला (11.9) को समबाहु कहा जाता है यदि इसके अर्ध-अक्ष () के बराबर हों। इसका विहित समीकरण
(11.12)
एक समबाहु अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी समीकरणों में समीकरण होते हैं और इसलिए, वे निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक होते हैं।
आइए एक नई समन्वय प्रणाली (चित्र 58 देखें) में इस हाइपरबोला के समीकरण पर विचार करें, जो समन्वय अक्षों को एक कोण से घुमाकर पुराने से प्राप्त किया गया है। हम समन्वय अक्षों को घुमाने के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:
हम x और y के मानों को समीकरण (11.12) में प्रतिस्थापित करते हैं:
एक समबाहु अतिपरवलय का समीकरण, जिसके लिए ऑक्स और ओय अक्ष अनंतस्पर्शी हैं, का रूप होगा।
अतिशयोक्ति के बारे में अधिक जानकारी
सनक हाइपरबोला (11.9) हाइपरबोला के वास्तविक अक्ष के मान के लिए नाभियों के बीच की दूरी का अनुपात है, जिसे ε द्वारा दर्शाया गया है:
चूँकि एक अतिपरवलय के लिए, अतिपरवलय की विलक्षणता एक से अधिक होती है:। विलक्षणता हाइपरबोला के आकार की विशेषता बताती है। वास्तव में, समानता (11.10) से यह इस प्रकार है अर्थात और 
.
इससे यह देखा जा सकता है कि हाइपरबोला की विलक्षणता जितनी छोटी होगी, उसके अर्ध-अक्षों का अनुपात उतना ही छोटा होगा, और इसलिए उसका मुख्य आयत उतना ही अधिक लम्बा होगा।
एक समबाहु अतिपरवलय की विलक्षणता है। वास्तव में,
फोकल त्रिज्या 
और 
दाहिनी शाखा के बिंदुओं के लिए हाइपरबोलस का रूप और है, और बाईं शाखा के लिए - 
और 
.
सीधी रेखाओं को हाइपरबोला की नियताएँ कहा जाता है। चूँकि हाइपरबोला के लिए ε > 1, तो। इसका मतलब यह है कि दायां डायरेक्ट्रिक्स हाइपरबोला के केंद्र और दाएं शीर्ष के बीच स्थित है, बायां - केंद्र और बाएं शीर्ष के बीच।
हाइपरबोला की नियताओं में दीर्घवृत्त की नियताओं के समान गुण होते हैं।
समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र भी एक अतिपरवलय है, जिसका वास्तविक अक्ष 2बी ओए अक्ष पर स्थित है, और काल्पनिक अक्ष 2 ए- ऑक्स अक्ष पर. चित्र 59 में इसे एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है।
यह स्पष्ट है कि हाइपरबोलस में सामान्य अनंतस्पर्शी होते हैं। ऐसे अतिपरवलय को संयुग्म कहा जाता है।
11.5. परवलय
विहित परवलय समीकरण
परवलय समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक एक दिए गए बिंदु, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है, से समान दूरी पर होता है। फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स तक की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p > 0) द्वारा दर्शाया जाता है।
परवलय के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम समन्वय प्रणाली ऑक्सी को चुनते हैं ताकि ऑक्सी अक्ष डायरेक्ट्रिक्स से एफ की दिशा में डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत फोकस एफ से होकर गुजरे, और निर्देशांक ओ की उत्पत्ति बीच में स्थित हो फोकस और डायरेक्ट्रिक्स (चित्र 60 देखें)। चुनी गई प्रणाली में, फोकस F के निर्देशांक होते हैं, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण का रूप होता है, या।
1. समीकरण (11.13) में चर y एक सम डिग्री में प्रकट होता है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है; ऑक्स अक्ष परवलय की समरूपता का अक्ष है।
2. चूँकि ρ > 0, (11.13) से यह निष्कर्ष निकलता है कि। नतीजतन, परवलय ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित है।
3. जब हमारे पास y = 0 है। इसलिए, परवलय मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
4. जैसे-जैसे x अनिश्चित काल तक बढ़ता है, मॉड्यूल y भी अनिश्चित काल तक बढ़ता है। परवलय का रूप (आकार) चित्र 61 में दिखाया गया है। बिंदु O(0; 0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM = r को बिंदु M का फोकल त्रिज्या कहा जाता है।
समीकरण , , ( पी>0) परवलय को भी परिभाषित करें, इन्हें चित्र 62 में दिखाया गया है
यह दिखाना आसान है कि एक द्विघात त्रिपद का ग्राफ, जहां, बी और सी कोई वास्तविक संख्याएं हैं, ऊपर दी गई परिभाषा के अर्थ में एक परवलय है।
11.6. दूसरे क्रम की रेखाओं का सामान्य समीकरण
समन्वय अक्षों के समानांतर समरूपता अक्षों के साथ दूसरे क्रम के वक्रों के समीकरण
आइए सबसे पहले एक बिंदु पर केंद्र के साथ एक दीर्घवृत्त का समीकरण खोजें, जिसकी समरूपता की धुरी समन्वय अक्ष ऑक्स और ओए के समानांतर हैं और अर्ध-अक्ष क्रमशः बराबर हैं एऔर बी. आइए हम दीर्घवृत्त O 1 के केंद्र में एक नई समन्वय प्रणाली की शुरुआत रखें, जिसकी अक्ष और अर्ध-अक्ष एऔर बी(चित्र 64 देखें):
अंत में, चित्र 65 में दिखाए गए परवलयों के संगत समीकरण हैं।
समीकरण
परिवर्तनों के बाद दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय और एक वृत्त के समीकरण के समीकरण (कोष्ठक खोलें, समीकरण के सभी पदों को एक तरफ ले जाएँ, समान पद लाएँ, गुणांकों के लिए नए अंकन प्रस्तुत करें) को एकल समीकरण का उपयोग करके लिखा जा सकता है। रूप
जहां गुणांक ए और सी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।
प्रश्न उठता है: क्या प्रपत्र (11.14) का प्रत्येक समीकरण दूसरे क्रम के वक्रों (वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय) में से एक को निर्धारित करता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।
प्रमेय 11.2. समीकरण (11.14) हमेशा परिभाषित करता है: या तो एक वृत्त (ए = सी के लिए), या एक दीर्घवृत्त (ए सी > 0 के लिए), या एक हाइपरबोला (ए सी के लिए)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
सामान्य दूसरे क्रम का समीकरण
आइए अब हम दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री के एक सामान्य समीकरण पर विचार करें:
यह समीकरण (11.14) से निर्देशांक (बी¹ 0) के गुणनफल वाले एक पद की उपस्थिति से भिन्न है। निर्देशांक अक्षों को एक कोण a द्वारा घुमाकर, इस समीकरण को बदलना संभव है ताकि निर्देशांक के उत्पाद वाला पद अनुपस्थित हो।
अक्ष घूर्णन सूत्रों का उपयोग करना
आइए पुराने निर्देशांक को नए निर्देशांक के रूप में व्यक्त करें:
आइए कोण a चुनें ताकि x" · y" का गुणांक शून्य हो जाए, यानी, ताकि समानता
इस प्रकार, जब अक्षों को एक ऐसे कोण द्वारा घुमाया जाता है जो शर्त (11.17) को संतुष्ट करता है, तो समीकरण (11.15) समीकरण (11.14) में कम हो जाता है।
निष्कर्ष: सामान्य दूसरे क्रम का समीकरण (11.15) समतल पर (अध: पतन और क्षय के मामलों को छोड़कर) निम्नलिखित वक्रों को परिभाषित करता है: वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय।
नोट: यदि A = C है, तो समीकरण (11.17) अर्थहीन हो जाता है। इस स्थिति में, cos2α = 0 (देखें (11.16)), तो 2α = 90°, अर्थात α = 45°। इसलिए, जब A = C, समन्वय प्रणाली को 45° घुमाया जाना चाहिए।
दूसरे क्रम की पंक्तियाँ।
दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण। घेरा
गहन अध्ययन के बाद समतल में सीधी रेखाएँहम द्वि-आयामी दुनिया की ज्यामिति का अध्ययन करना जारी रखते हैं। दांव दोगुना हो गया है और मैं आपको दीर्घवृत्त, हाइपरबोलस, परवलय की एक सुरम्य गैलरी देखने के लिए आमंत्रित करता हूं, जो विशिष्ट प्रतिनिधि हैं दूसरे क्रम की पंक्तियाँ. भ्रमण शुरू हो चुका है, और सबसे पहले संग्रहालय की विभिन्न मंजिलों पर संपूर्ण प्रदर्शनी के बारे में संक्षिप्त जानकारी:
बीजगणितीय रेखा की अवधारणा और उसका क्रम
समतल पर एक रेखा कहलाती है बीजगणितीय, मैं फ़िन एफ़िन समन्वय प्रणालीइसके समीकरण का रूप है, जहां एक बहुपद है जिसमें फॉर्म के पद शामिल हैं (- वास्तविक संख्या, - गैर-नकारात्मक पूर्णांक)।
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक बीजगणितीय रेखा के समीकरण में साइन, कोसाइन, लघुगणक और अन्य कार्यात्मक ब्यू मोंडे शामिल नहीं होते हैं। केवल X और Y अंदर हैं गैर-ऋणात्मक पूर्णांकडिग्री.
पंक्ति क्रमइसमें शामिल शब्दों के अधिकतम मूल्य के बराबर।
संबंधित प्रमेय के अनुसार, एक बीजगणितीय रेखा की अवधारणा, साथ ही उसका क्रम, पसंद पर निर्भर नहीं करता है एफ़िन समन्वय प्रणालीइसलिए, अस्तित्व में आसानी के लिए, हम मानते हैं कि बाद की सभी गणनाएँ होती हैं कार्तीय निर्देशांक.
सामान्य समीकरणदूसरे क्रम की पंक्ति का रूप है, जहाँ 
- मनमानी वास्तविक संख्याएँ (इसे दो के गुणनखंड के साथ लिखने की प्रथा है), और गुणांक एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।
यदि, तो समीकरण सरल हो जाता है 
, और यदि गुणांक एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह बिल्कुल सही है "समतल" रेखा का सामान्य समीकरण, जो दर्शाता है प्रथम आदेश पंक्ति.
कई लोगों ने नए शब्दों का अर्थ समझ लिया है, लेकिन, फिर भी, सामग्री में 100% महारत हासिल करने के लिए, हम अपनी उंगलियों को सॉकेट में चिपका देते हैं। पंक्ति क्रम निर्धारित करने के लिए, आपको पुनरावृति करने की आवश्यकता है सभी शर्तेंइसके समीकरण और उनमें से प्रत्येक के लिए खोजें डिग्रियों का योगआने वाले चर।
उदाहरण के लिए:
शब्द में पहली शक्ति तक "x" शामिल है;
शब्द में पहली शक्ति में "Y" शामिल है;
पद में कोई चर नहीं है, इसलिए उनकी शक्तियों का योग शून्य है।
अब आइए जानें कि समीकरण रेखा को क्यों परिभाषित करता है दूसराआदेश देना:
शब्द में दूसरी शक्ति में "x" शामिल है;
सारांश में चरों की घातों का योग होता है: 1 + 1 = 2;
शब्द में दूसरी शक्ति में "Y" शामिल है;
अन्य सभी शर्तें - कमडिग्री.
अधिकतम मान: 2
अगर हम अपने समीकरण में अतिरिक्त जोड़ दें, मान लें, तो यह पहले से ही तय हो जाएगा तीसरे क्रम की पंक्ति. यह स्पष्ट है कि तीसरे क्रम की रेखा समीकरण के सामान्य रूप में पदों का एक "पूर्ण सेट" होता है, जिसमें चर की शक्तियों का योग तीन के बराबर होता है:
, जहां गुणांक एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं।
इस घटना में कि आप एक या अधिक उपयुक्त शब्द जोड़ते हैं 
, तो हम पहले से ही बात करेंगे चौथे क्रम की पंक्तियाँ, वगैरह।
हमें तीसरी, चौथी और उच्चतर कोटि की बीजगणितीय रेखाओं का एक से अधिक बार सामना करना पड़ेगा, विशेष रूप से, इससे परिचित होने पर ध्रुवीय समन्वय प्रणाली.
हालाँकि, आइए सामान्य समीकरण पर वापस जाएँ और इसकी सबसे सरल स्कूल विविधताओं को याद रखें। उदाहरण के तौर पर, एक परवलय स्वयं सुझाता है, जिसके समीकरण को आसानी से कम किया जा सकता है सामान्य उपस्थिति, और समतुल्य समीकरण वाला एक अतिपरवलय। हालाँकि, सब कुछ इतना सहज नहीं है...
सामान्य समीकरण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि यह लगभग हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि यह किस रेखा को परिभाषित करता है। यहां तक कि सबसे सरल मामले में भी, आपको तुरंत एहसास नहीं होगा कि यह अतिशयोक्ति है। इस तरह के लेआउट केवल दिखावे के लिए ही अच्छे होते हैं, इसलिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान एक विशिष्ट समस्या पर विचार किया जाता है द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में लाना.
किसी समीकरण का विहित रूप क्या है?
यह किसी समीकरण का आम तौर पर स्वीकृत मानक रूप है, जब कुछ ही सेकंड में यह स्पष्ट हो जाता है कि यह किस ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित करता है। इसके अलावा, कई व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए विहित रूप बहुत सुविधाजनक है। तो, उदाहरण के लिए, विहित समीकरण के अनुसार "सपाट" सीधा, सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि यह एक सीधी रेखा है, और दूसरी बात, इससे संबंधित बिंदु और दिशा वेक्टर आसानी से दिखाई देते हैं।
यह स्पष्ट है कि कोई भी पहली ऑर्डर लाइनएक सीधी रेखा है. दूसरी मंजिल पर, अब चौकीदार हमारा इंतजार नहीं कर रहा है, बल्कि नौ मूर्तियों की एक बहुत अधिक विविध कंपनी है:
दूसरे क्रम की रेखाओं का वर्गीकरण
क्रियाओं के एक विशेष सेट का उपयोग करके, दूसरे क्रम की रेखा के किसी भी समीकरण को निम्नलिखित रूपों में से एक में घटा दिया जाता है:
(और सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं)
1) 
– दीर्घवृत्त का विहित समीकरण;
2)- अतिपरवलय का विहित समीकरण;
3) 
– परवलय का विहित समीकरण;
4) – काल्पनिकदीर्घवृत्त;
5)- प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक युग्म;
6)- जोड़ी काल्पनिकप्रतिच्छेदी रेखाएँ (मूल पर एक वैध प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ);
7)-समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी;
8)- जोड़ी काल्पनिकसमानांतर रेखाएं;
9)-संपाती रेखाओं का एक युग्म।
कुछ पाठकों को यह आभास हो सकता है कि सूची अधूरी है। उदाहरण के लिए, बिंदु संख्या 7 में, समीकरण जोड़ी को निर्दिष्ट करता है प्रत्यक्ष, अक्ष के समानांतर, और सवाल उठता है: वह समीकरण कहां है जो कोटि अक्ष के समानांतर रेखाओं को निर्धारित करता है? इसका जवाब दो विहित नहीं माना जाता. सीधी रेखाएं उसी मानक मामले का प्रतिनिधित्व करती हैं, जिसे 90 डिग्री तक घुमाया जाता है, और वर्गीकरण में अतिरिक्त प्रविष्टि अनावश्यक है, क्योंकि यह मौलिक रूप से कुछ भी नया नहीं लाती है।
इस प्रकार नौ और केवल नौ ही हैं विभिन्न प्रकार केदूसरे क्रम की पंक्तियाँ, लेकिन व्यवहार में वे सबसे अधिक बार पाई जाती हैं दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय.
आइए पहले दीर्घवृत्त को देखें। हमेशा की तरह, मैं उन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करता हूं जो समस्याओं को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और यदि आपको सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति, प्रमेयों के प्रमाण की आवश्यकता है, तो कृपया, उदाहरण के लिए, बाज़िलेव/अटानास्यान या अलेक्जेंड्रोव की पाठ्यपुस्तक देखें।
दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण
वर्तनी... कृपया कुछ यांडेक्स उपयोगकर्ताओं की गलतियों को न दोहराएं जो "दीर्घवृत्त कैसे बनाएं", "दीर्घवृत्त और अंडाकार के बीच का अंतर" और "दीर्घवृत्त की विलक्षणता" में रुचि रखते हैं।
दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है, जहां सकारात्मक वास्तविक संख्याएं होती हैं, और। मैं बाद में दीर्घवृत्त की परिभाषा तैयार करूंगा, लेकिन अभी बातचीत से विराम लेने और एक सामान्य समस्या को हल करने का समय आ गया है:
दीर्घवृत्त कैसे बनाएं?
हाँ, बस इसे ले लो और बस इसे खींचो। कार्य बार-बार होता है, और छात्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा ड्राइंग का सही ढंग से सामना नहीं कर पाता है:
उदाहरण 1
समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त की रचना कीजिए
समाधान: सबसे पहले, आइए समीकरण को विहित रूप में लाएँ: 
क्यों लाये? विहित समीकरण का एक लाभ यह है कि यह आपको तुरंत निर्धारण करने की अनुमति देता है दीर्घवृत्त के शीर्ष, जो बिंदुओं पर स्थित हैं। यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
इस मामले में : 
रेखा खंडबुलाया प्रमुख धुरीदीर्घवृत्त;
रेखा खंड – छोटी धुरी;
संख्या 
बुलाया अर्ध-प्रमुख शाफ्टदीर्घवृत्त;
संख्या 
– छोटी धुरी.
हमारे उदाहरण में: .
एक विशेष दीर्घवृत्त कैसा दिखता है इसकी तुरंत कल्पना करने के लिए, बस इसके विहित समीकरण के "ए" और "बी" के मूल्यों को देखें।
सब कुछ ठीक, सहज और सुंदर है, लेकिन एक चेतावनी है: मैंने प्रोग्राम का उपयोग करके चित्र बनाया है। और आप किसी भी एप्लिकेशन का उपयोग करके ड्राइंग बना सकते हैं। हालाँकि, कठोर वास्तविकता में, मेज पर कागज का एक चेकर टुकड़ा है, और चूहे हमारे हाथों पर घेरे में नाच रहे हैं। बेशक, कलात्मक प्रतिभा वाले लोग बहस कर सकते हैं, लेकिन आपके पास चूहे भी हैं (हालांकि छोटे वाले)। यह व्यर्थ नहीं है कि मानवता ने ड्राइंग के लिए रूलर, कम्पास, प्रोट्रैक्टर और अन्य सरल उपकरणों का आविष्कार किया।
इस कारण से, केवल शीर्षों को जानते हुए हम किसी दीर्घवृत्त को सटीक रूप से खींचने में सक्षम होने की संभावना नहीं रखते हैं। यह ठीक है यदि दीर्घवृत्त छोटा है, उदाहरण के लिए, अर्ध-अक्षों के साथ। वैकल्पिक रूप से, आप पैमाने को कम कर सकते हैं और, तदनुसार, ड्राइंग के आयाम। लेकिन सामान्य तौर पर, अतिरिक्त अंक ढूंढना अत्यधिक वांछनीय है।
दीर्घवृत्त के निर्माण के दो दृष्टिकोण हैं - ज्यामितीय और बीजगणितीय। मुझे कम्पास और रूलर का उपयोग करके निर्माण पसंद नहीं है क्योंकि एल्गोरिदम सबसे छोटा नहीं है और ड्राइंग काफी अव्यवस्थित है। आपातकालीन स्थिति में, कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन वास्तव में बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना कहीं अधिक तर्कसंगत है। ड्राफ्ट में दीर्घवृत्त के समीकरण से हम शीघ्रता से व्यक्त करते हैं: 
फिर समीकरण दो कार्यों में टूट जाता है: 
- दीर्घवृत्त के ऊपरी चाप को परिभाषित करता है; 
- दीर्घवृत्त के निचले चाप को परिभाषित करता है।
विहित समीकरण द्वारा परिभाषित दीर्घवृत्त समन्वय अक्षों के संबंध में, साथ ही मूल के संबंध में सममित है। और यह बहुत अच्छा है - समरूपता लगभग हमेशा मुफ़्त का अग्रदूत होती है। जाहिर है, यह पहली समन्वय तिमाही से निपटने के लिए पर्याप्त है, इसलिए हमें फ़ंक्शन की आवश्यकता है 
. यह एब्सिस्सा के साथ अतिरिक्त बिंदुओं को खोजने की मांग करता है 
. आइए कैलकुलेटर पर तीन एसएमएस संदेशों को टैप करें: 
बेशक, यह भी अच्छा है कि यदि गणना में कोई गंभीर गलती हो जाती है, तो निर्माण के दौरान यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा।
आइए ड्राइंग पर बिंदुओं को चिह्नित करें (लाल), शेष चापों पर सममित बिंदु (नीला) और ध्यान से पूरी कंपनी को एक लाइन से जोड़ें: 
प्रारंभिक स्केच को बहुत पतला बनाना बेहतर है, और उसके बाद ही पेंसिल से दबाव डालें। परिणाम काफी अच्छा दीर्घवृत्त होना चाहिए। वैसे, क्या आप जानना चाहेंगे कि यह वक्र क्या है?
दीर्घवृत्त की परिभाषा. दीर्घवृत्त फोकस और दीर्घवृत्त विलक्षणता
दीर्घवृत्त अंडाकार का एक विशेष मामला है। शब्द "अंडाकार" को परोपकारी अर्थ में नहीं समझा जाना चाहिए ("बच्चे ने एक अंडाकार बनाया", आदि)। यह एक गणितीय शब्द है जिसका विस्तृत सूत्रीकरण है। इस पाठ का उद्देश्य अंडाकारों और उनके विभिन्न प्रकारों के सिद्धांत पर विचार करना नहीं है, जिन पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मानक पाठ्यक्रम में व्यावहारिक रूप से ध्यान नहीं दिया जाता है। और, अधिक वर्तमान आवश्यकताओं के अनुसार, हम तुरंत दीर्घवृत्त की सख्त परिभाषा की ओर बढ़ते हैं:
अंडाकारसमतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय, दो दिए गए बिंदुओं से प्रत्येक बिंदु की दूरी का योग कहलाता है चालदीर्घवृत्त, एक स्थिर मात्रा है, जो संख्यात्मक रूप से इस दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर है:।
इस मामले में, फोकस के बीच की दूरी इस मान से कम है:।
अब सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा: 
कल्पना कीजिए कि नीला बिंदु एक दीर्घवृत्त के साथ "यात्रा" करता है। इसलिए, चाहे हम दीर्घवृत्त का कोई भी बिंदु लें, खंडों की लंबाई का योग हमेशा समान रहेगा:
आइए सुनिश्चित करें कि हमारे उदाहरण में योग का मूल्य वास्तव में आठ के बराबर है। मानसिक रूप से बिंदु "उम" को दीर्घवृत्त के दाहिने शीर्ष पर रखें, फिर:, जिसे जांचने की आवश्यकता है।
इसे चित्रित करने की एक अन्य विधि दीर्घवृत्त की परिभाषा पर आधारित है। उच्च गणित कभी-कभी तनाव और तनाव का कारण होता है, इसलिए एक और अनलोडिंग सत्र का समय आ गया है। कृपया व्हाटमैन पेपर या कार्डबोर्ड की एक बड़ी शीट लें और इसे दो कीलों से मेज पर चिपका दें। ये तरकीबें होंगी. उभरे हुए नाखून के सिरों पर एक हरे रंग का धागा बांधें और इसे एक पेंसिल से पूरी तरह खींचें। पेंसिल लीड एक निश्चित बिंदु पर समाप्त हो जाएगी जो दीर्घवृत्त से संबंधित है। अब हरे धागे को तना हुआ रखते हुए पेंसिल को कागज के टुकड़े पर घुमाना शुरू करें। प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक आप शुरुआती बिंदु पर वापस न आ जाएं... बढ़िया... ड्राइंग की जांच डॉक्टर और शिक्षक द्वारा की जा सकती है =)
दीर्घवृत्त की नाभियाँ कैसे ज्ञात करें?
उपरोक्त उदाहरण में, मैंने "रेडी-मेड" फोकल बिंदुओं को दर्शाया है, और अब हम सीखेंगे कि उन्हें ज्यामिति की गहराई से कैसे निकाला जाए।
यदि एक दीर्घवृत्त किसी विहित समीकरण द्वारा दिया गया है, तो उसके नाभियों के निर्देशांक होते हैं 
, कहाँ है प्रत्येक फोकस से दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र तक की दूरी.
गणनाएँ सरल से भी अधिक सरल हैं: 
! फ़ॉसी के विशिष्ट निर्देशांक को "त्से" के अर्थ से नहीं पहचाना जा सकता है!मैं दोहराता हूं कि यह है प्रत्येक फोकस से केंद्र तक की दूरी(जो सामान्य स्थिति में बिल्कुल मूल बिंदु पर स्थित होना जरूरी नहीं है)।
और, इसलिए, नाभियों के बीच की दूरी को भी दीर्घवृत्त की विहित स्थिति से नहीं जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, दीर्घवृत्त को किसी अन्य स्थान पर ले जाया जा सकता है और मान अपरिवर्तित रहेगा, जबकि नाभियाँ स्वाभाविक रूप से अपने निर्देशांक बदल देंगी। कृपया विषय का आगे अन्वेषण करते समय इसे ध्यान में रखें।
दीर्घवृत्त विलक्षणता और इसका ज्यामितीय अर्थ
दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक अनुपात है जो सीमा के भीतर मान ले सकता है।
हमारे मामले में:
आइए जानें कि दीर्घवृत्त का आकार उसकी विलक्षणता पर कैसे निर्भर करता है। इसके लिए बाएँ और दाएँ कोने को ठीक करेंविचाराधीन दीर्घवृत्त का, अर्थात् अर्धप्रमुख अक्ष का मान स्थिर रहेगा। तब विलक्षणता सूत्र यह रूप लेगा: .
आइए विलक्षणता मूल्य को एकता के करीब लाना शुरू करें। यह तभी संभव है जब. इसका मतलब क्या है? ...ट्रिक याद रखें 
. इसका मतलब यह है कि दीर्घवृत्त का फोकस भुज अक्ष के साथ पार्श्व शीर्षों तक "अलग हो जाएगा"। और, चूंकि "हरे खंड रबर नहीं हैं", दीर्घवृत्त अनिवार्य रूप से चपटा होना शुरू हो जाएगा, एक धुरी पर बंधे पतले और पतले सॉसेज में बदल जाएगा।
इस प्रकार, दीर्घवृत्त विलक्षणता मान एकता के जितना करीब होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक लम्बा होगा.
आइए अब विपरीत प्रक्रिया का मॉडल बनाएं: दीर्घवृत्त का फोकस 
एक दूसरे की ओर चलते हुए, केंद्र की ओर आ रहे थे। इसका मतलब यह है कि "सीई" का मान कम से कम होता जाता है और, तदनुसार, विलक्षणता शून्य हो जाती है:।
इस मामले में, इसके विपरीत, "हरे खंड" "भीड़ में बदल जाएंगे" और वे दीर्घवृत्त रेखा को ऊपर और नीचे "धक्का" देना शुरू कर देंगे।
इस प्रकार, विलक्षणता मान शून्य के जितना करीब होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक समान होगा... उस सीमित मामले को देखें जब फ़ॉसी मूल स्थान पर सफलतापूर्वक पुन: एकजुट हो जाती है:
वृत्त दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है
दरअसल, अर्ध-अक्षों की समानता के मामले में, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण रूप लेता है, जो स्कूल से अच्छी तरह से ज्ञात त्रिज्या "ए" के मूल में एक केंद्र के साथ एक वृत्त के समीकरण में बदल जाता है।
व्यवहार में, "बोलने" अक्षर "एर" के साथ संकेतन का अधिक बार उपयोग किया जाता है:। त्रिज्या एक खंड की लंबाई है, जिसमें वृत्त का प्रत्येक बिंदु केंद्र से एक त्रिज्या दूरी से हटा दिया जाता है।
ध्यान दें कि दीर्घवृत्त की परिभाषा पूरी तरह से सही रहती है: नाभियाँ संपाती होती हैं, और वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए संपाती खंडों की लंबाई का योग एक स्थिरांक होता है। चूँकि नाभियों के बीच की दूरी है, तो किसी भी वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य होती है.
एक वृत्त बनाना आसान और त्वरित है, बस एक कंपास का उपयोग करें। हालाँकि, कभी-कभी इसके कुछ बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाना आवश्यक होता है, इस मामले में हम परिचित तरीके से चलते हैं - हम समीकरण को हंसमुख मटानोव रूप में लाते हैं:
- ऊपरी अर्धवृत्त का कार्य;
– निचले अर्धवृत्त का कार्य.
फिर हमें आवश्यक मान मिलते हैं, अंतर, एकीकृतऔर अन्य अच्छे काम करें.
बेशक, लेख केवल संदर्भ के लिए है, लेकिन आप प्यार के बिना दुनिया में कैसे रह सकते हैं? स्वतंत्र समाधान के लिए रचनात्मक कार्य
उदाहरण 2
किसी दीर्घवृत्त का विहित समीकरण बनाएं यदि उसके नाभियों और अर्ध-लघु अक्षों में से एक ज्ञात हो (केंद्र मूल बिंदु पर है)। शीर्ष, अतिरिक्त बिंदु खोजें और चित्र में एक रेखा खींचें। विलक्षणता की गणना करें.
पाठ के अंत में समाधान और चित्रण
आइए एक क्रिया जोड़ें:
घुमाएँ और समानांतर रूप से एक दीर्घवृत्त का अनुवाद करें
आइए दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर लौटते हैं, अर्थात् उस स्थिति पर, जिसके रहस्य ने इस वक्र के पहले उल्लेख के बाद से जिज्ञासु दिमागों को परेशान किया है। तो हमने दीर्घवृत्त को देखा 
लेकिन क्या व्यवहार में इस समीकरण को पूरा करना संभव नहीं है 
? आख़िरकार, हालाँकि, यहाँ भी यह एक दीर्घवृत्त प्रतीत होता है!
इस प्रकार का समीकरण दुर्लभ है, लेकिन सामने आता है। और यह वास्तव में एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। आइए रहस्य को उजागर करें: 
निर्माण के परिणामस्वरूप, हमारा मूल दीर्घवृत्त प्राप्त हुआ, जिसे 90 डिग्री घुमाया गया। वह है, 
- यह गैर-विहित प्रविष्टिअंडाकार 
. अभिलेख!- समीकरण 
किसी अन्य दीर्घवृत्त को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि अक्ष पर कोई बिंदु (foci) नहीं हैं जो दीर्घवृत्त की परिभाषा को संतुष्ट कर सकें।
(एमआईएफ-2, संख्या 3, 2005)
एक समतल पर दूसरे क्रम की रेखाएँ
पी. 1. दूसरे क्रम की पंक्ति की परिभाषा
एक समतल पर विचार करें जिस पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (XOY) निर्दिष्ट है। तब कोई भी बिंदु M उसके निर्देशांक (x, y) द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। इसके अलावा, संख्याओं का कोई भी जोड़ा (x, y) समतल पर एक निश्चित बिंदु को परिभाषित करता है। बिंदुओं के निर्देशांक कुछ शर्तों को पूरा कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, अज्ञात (x, y) के संबंध में कुछ समीकरण f(x, y) = 0। इस मामले में, वे कहते हैं कि समीकरण f(x, y)=0 समतल पर एक निश्चित आकृति को परिभाषित करता है। आइए उदाहरण देखें.
उदाहरण 1।फ़ंक्शन पर विचार करें य= एफ( एक्स). इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं य- एफ( एक्स) = 0.
उदाहरण 2.समीकरण (*), कहाँ ए, बी, सी- कुछ संख्याएँ समतल पर एक निश्चित सीधी रेखा को परिभाषित करती हैं। ((*) रूप के समीकरण कहलाते हैं रेखीय).
उदाहरण 3.हाइपरबोला के ग्राफ़ में ऐसे बिंदु होते हैं जिनके निर्देशांक समीकरण https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" ऊंचाई="25"> को संतुष्ट करते हैं।
परिभाषा 1. फॉर्म का समीकरण (**), जहां कम से कम एक गुणांक DIV_ADBLOCK53"> है
हम ऊपर उल्लिखित रेखाओं के ज्यामितीय और भौतिक गुणों पर विचार करेंगे। आइए एक दीर्घवृत्त से शुरू करें।
https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width=”79″ ऊंचाई=”44 src=”> (1).
समीकरण (1) कहा जाता है कैनन कादीर्घवृत्त का समीकरण.
दीर्घवृत्त के आकार का अंदाजा चित्र 1 से लगाया जा सकता है।
चलिए डालते हैं. बिन्दु कहलाते हैं चालदीर्घवृत्त. ट्रिक्स से जुड़े कई दिलचस्प गुण हैं, जिनके बारे में हम नीचे चर्चा करेंगे।
परिभाषा 4. अतिशयोक्ति एक समतल पर एक आकृति है जिसके सभी बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं
(2).
समीकरण (2) कहा जाता है कैनन काअतिपरवलय समीकरण. हाइपरबोला के प्रकार का अंदाजा चित्र 2 से लगाया जा सकता है।
चलिए डालते हैं. बिन्दु कहलाते हैं चालअतिशयोक्ति। पैरामीटर एबुलाया वैध, और पैरामीटर बी- काल्पनिक अर्ध-अक्षक्रमशः अतिपरवलय बैल– वास्तविक, और ओह– हाइपरबोला की काल्पनिक धुरी.
https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif' width='61' ऊंचाई='41'>, कहलाते हैं स्पर्शोन्मुख. बड़े पैरामीटर मानों के लिए एक्सअनंतस्पर्शी बिंदुओं के बिंदु हाइपरबोला की शाखाओं के करीब पहुंचते हैं। चित्र 2 में, अनंतस्पर्शियों को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है।
परिभाषा 5. परवलय एक समतल पर बनी एक आकृति है जिसके सभी बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं
https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif' width='47' ऊंचाई='45 src='>.
पी. 3. एलवीपी फोकस के गुण
A.2 में प्रत्येक एलवीपी के लिए। विशेष बिन्दु बताए गए- चाल. ये बिंदु दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के महत्वपूर्ण गुणों को समझाने में बड़ी भूमिका निभाते हैं। हम इन गुणों को प्रमेयों के रूप में तैयार करते हैं।
प्रमेय. 1. दीर्घवृत्त बिंदुओं का एक समूह हैएम, जैसे कि इन बिंदुओं से नाभि तक की दूरी का योग 2 के बराबर हैए:
https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif' width='115' ऊंचाई='23 src='> (5).
एक परवलय के लिए एक समान गुण तैयार करने के लिए, हम परिभाषित करते हैं स्कूल की संचालिका. यह सीधा है डी, समीकरण https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif' width='103' ऊंचाई='21 src='> (6) द्वारा दिया गया है।
पी. 4. फोकस और स्पर्श रेखाएँ
https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" संरेखित करें = "दाएं" चौड़ाई = "322" ऊंचाई = "386 src = ">.gif" चौड़ाई = "52" ऊंचाई = "24 src='>संबंधित एचडीएल से संबंधित है। इस बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखाओं के समीकरण नीचे दिए गए हैं:
- एक दीर्घवृत्त के लिए, (7)
- अतिशयोक्ति के लिए, (8)
- एक परवलय के लिए. (9)
यदि हम दोनों नाभियों से स्पर्शरेखा के बिंदु तक दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के साथ खंड खींचते हैं (उन्हें कहा जाता है) फोकल त्रिज्याअंक), तब कुछ उल्लेखनीय बात सामने आएगी संपत्ति(चित्र 5 और 6 देखें): फ़ोकल त्रिज्याएँ इस बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के साथ समान कोण बनाती हैं।
इस संपत्ति की एक दिलचस्प भौतिक व्याख्या है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी दीर्घवृत्त की रूपरेखा को प्रतिबिम्बित मानते हैं, तो एक फोकस पर रखे गए बिंदु स्रोत से प्रकाश की किरणें, सर्किट की दीवारों से परावर्तन के बाद, आवश्यक रूप से दूसरे फोकस से होकर गुजरेंगी.
परवलय के लिए एक समान संपत्ति को महान व्यावहारिक अनुप्रयोग प्राप्त हुआ है। तथ्य यह है कि परवलय के किसी भी बिंदु का फोकल त्रिज्या इस बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के साथ एक कोण बनाता है जो स्पर्शरेखा और परवलय के अक्ष के बीच के कोण के बराबर होता है.
भौतिक रूप से इसकी व्याख्या इस प्रकार की जाती है: परवलय के फोकस पर रखे गए एक बिंदु की किरणें, इसकी दीवारों से परावर्तन के बाद, परवलय की समरूपता के अक्ष के समानांतर फैलती हैं. इसीलिए लालटेन और स्पॉटलाइट के दर्पणों का आकार परवलयिक होता है। वैसे, यदि परवलय की धुरी के समानांतर प्रकाश की एक धारा (रेडियो तरंगें) इसमें प्रवेश करती है, तो दीवारों से परावर्तन के बाद इसकी सभी किरणें फोकस से होकर गुजरेंगी। अंतरिक्ष संचार स्टेशन, साथ ही रडार, इसी सिद्धांत पर काम करते हैं।
पी. 5. थोड़ा और भौतिकी
एचडीएल का भौतिकी और खगोल विज्ञान में व्यापक उपयोग पाया गया है। इस प्रकार, यह पाया गया कि एक अपेक्षाकृत हल्का पिंड (उदाहरण के लिए, एक उपग्रह) एक अधिक विशाल पिंड (ग्रह या तारा) के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है जो एलवीपी में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। इस मामले में, अधिक विशाल पिंड इस प्रक्षेपवक्र के फोकस पर है।
पहली बार इन संपत्तियों का विस्तार से अध्ययन किया गया जोहान्स केपलर और उन्हें केप्लर के नियम कहा गया।
10वीं कक्षा के छात्रों के लिए टेस्ट नंबर 1
स्व-परीक्षण प्रश्न (प्रति कार्य 5 अंक)
एम.10.1.1.एचडीएल को परिभाषित करें. समीकरणों के कुछ उदाहरण दीजिए जो एलवीपी को परिभाषित करते हैं।
एम.10.1.2. a) एक दीर्घवृत्त, b) एक अतिपरवलय, यदि की नाभियों के निर्देशांक की गणना करें ए=13, बी=5.
एम.10.1.3. a) एक दीर्घवृत्त, b) एक हाइपरबोला का विहित समीकरण बनाएं, यदि यह ज्ञात हो कि यह रेखा निर्देशांक (5, 6) और (-8, 7) वाले बिंदुओं से होकर गुजरती है।
एम.10.1.4.जांचें कि समीकरण (9) द्वारा दी गई सीधी रेखा वास्तव में समीकरण (3) द्वारा दिए गए परवलय को केवल निर्देशांक वाले बिंदु पर काटती है। ( टिप्पणी: पहले स्पर्शरेखा के समीकरण को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करें, और फिर सुनिश्चित करें कि परिणामी द्विघात समीकरण का विभेदक शून्य है.)
एम.10.1.5.निर्देशांक वाले बिंदु पर वास्तविक अर्ध-अक्ष 8 और काल्पनिक अर्ध-अक्ष - 4 के साथ अतिपरवलय की स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें एक्स=11 यदि बिंदु का दूसरा निर्देशांक ऋणात्मक है।
व्यावहारिक कार्य (10 अंक)
एम.10.1.6.निम्नलिखित विधि का उपयोग करके कई दीर्घवृत्त बनाएं: कागज की एक शीट को प्लाईवुड से सुरक्षित करें और कागज में कुछ बटन चिपका दें (लेकिन पूरी तरह से नहीं)। धागे का एक टुकड़ा लें और उसके सिरों को बांध दें। परिणामी लूप को दोनों बटनों (भविष्य के दीर्घवृत्त के केंद्र बिंदु) पर फेंकें, धागे को पेंसिल के तेज सिरे से खींचें और ध्यान से एक रेखा खींचें, यह सुनिश्चित करते हुए कि धागा तना हुआ है। लूप के आयामों को बदलकर, आप कई कन्फोकल दीर्घवृत्त बना सकते हैं। प्रमेय 1 का उपयोग करके यह समझाने का प्रयास करें कि परिणामी रेखाएँ वास्तव में दीर्घवृत्त हैं और बताएं कि बटनों के बीच की दूरी और धागे की लंबाई को जानकर, आप दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों की गणना कैसे कर सकते हैं।
