Kuidas määrata arvu alust arvutiteaduses. Numbrisüsteemid. Põhimõisted. Numbrite esitamise viisid

Enne kui hakkame probleeme lahendama, peame mõistma mõnda lihtsat punkti.

Vaatleme kümnendarvu 875. Arvu viimane number (5) on arvu 875 jagamise jääk 10-ga. Viimased kaks numbrit moodustavad arvu 75 – see on arvu 875 100-ga jagamise jääk. Sarnased väited on tõene mis tahes numbrisüsteemi jaoks:

Arvu viimane number on jääk, kui see arv jagatakse numbrisüsteemi alusega.

Arvu kaks viimast numbrit on ülejäänud numbrid, kui arv jagatakse ruudu alusega.

Näiteks, . Jagage 23 süsteemi baasiga 3, jäägiks saame 7 ja 2 (2 on kolmendsüsteemis arvu viimane koht). Jagage 23 9-ga (alus ruudus), jäägiks saame 18 ja 5 (5 = ).

Tuleme jälle tagasi tavapärase kümnendsüsteemi juurde. Arv = 100000. See tähendab 10 k astmega on üks ja k null.

Sarnane väide kehtib iga numbrisüsteemi kohta:

Arvusüsteemi alus astmele k selles arvusüsteemis kirjutatakse ühe ja k nullina.

Näiteks, .

1. Arvusüsteemi aluse leidmine

Näide 1.

Mõne alusega arvusüsteemis kirjutatakse kümnendarvuks 27 30. Määra see alus.

Lahendus:

Tähistame soovitud baasi x. Siis .st. x = 9.

Näide 2.

Mõne alusega arvusüsteemis kirjutatakse kümnendarvuks 13 111. Määra see alus.

Lahendus:

Tähistame soovitud baasi x. Siis

Lahendame ruutvõrrandi, saame juured 3 ja -4. Kuna arvusüsteemi alus ei saa olla negatiivne, on vastus 3.

Vastus: 3

Näide 3

Eraldades komadega, kasvavas järjekorras märkige kõik arvusüsteemide alused, milles number 29 lõpeb 5-ga.

Lahendus:

Kui mõnes süsteemis lõpeb arv 29 5-ga, siis 5 võrra vähendatud arv (29-5 = 24) lõpeb 0-ga. Varem ütlesime, et arv lõpeb 0-ga juhul, kui see jagub süsteemi alusega. ilma jäägita. Need. peame leidma kõik sellised arvud, mis jagavad arvu 24. Need arvud on: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Pange tähele, et arvusüsteemides, mille alus on 2, 3, 4, pole arvu 5 (ja sõnastusülesandes lõpeb number 29 numbriga 5), mis tähendab, et alustega süsteemid jäävad: 6, 8, 12,

Vastus: 6, 8, 12, 24

Näide 4

Eraldatuna komadega, kasvavas järjekorras märkige kõik arvusüsteemide alused, milles number 71 lõpeb 13-ga.

Lahendus:

Kui mõnes süsteemis lõpeb arv numbriga 13, siis selle süsteemi alus ei ole väiksem kui 4 (muidu pole seal arvu 3).

3 võrra vähendatud arv (71-3=68) lõpeb 10-ga. See tähendab. 68 jagatakse täielikult süsteemi soovitud baasiga ja selle jagatis süsteemi baasiga jagamisel annab jäägiks 0.

Kirjutame üles kõik arvu 68 täisarvude jagajad: 2, 4, 17, 34, 68.

2 ei sobi, sest alus ei ole väiksem kui 4. Kontrollime ülejäänud jagajaid:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ülejäänud 1) – sobib

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ülejäänud 4) – ei sobi

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) – ei sobi

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ülejäänud 1) – sobib

Vastus: 4.68

2. Otsige numbreid tingimuste järgi

Näide 5

Täpsustage, eraldades kasvavas järjekorras komadega, kõik kümnendarvud, mis ei ületa 25, mille tähistus nelja põhiarvusüsteemis lõpeb 11-ga?

Lahendus:

Kõigepealt uurime, kuidas näeb number 25 välja 4. baasnumbrisüsteemis.

Need. peame leidma kõik arvud, mis ei ole suuremad kui , mis lõpevad 11-ga. Vastavalt 4-aluse süsteemi järjestikuse loendamise reeglile,
saame numbrid ja . Teisendame need kümnendarvude süsteemi:

Vastus: 5, 21

3. Võrrandite lahendamine

Näide 6

Lahenda võrrand:

Kirjuta oma vastus kolmendsüsteemis (arvusüsteemi baasi pole vaja vastusesse kirjutada).

Lahendus:

Teisendame kõik arvud kümnendarvude süsteemi:

Ruutvõrrandi juured on -8 ja 6 (kuna süsteemi alus ei saa olla negatiivne). .

Vastus: 20

4. Üheliste (nullide) loendamine avaldise väärtuse binaarses tähises

Seda tüüpi probleemi lahendamiseks peame meeles pidama, kuidas toimib veergude liitmine ja lahutamine:

Liitmisel toimub üksteise alla kirjutatud numbrite bittide liitmine, alustades kõige väiksema tähendusega numbritest. Kui saadud kahe numbri summa on suurem või võrdne arvusüsteemi alusega, kirjutatakse selle summa jagamisel arvusüsteemi alusega summa summeeritud numbrite alla ja selle summa jagamise täisarvuline osa süsteemi alus lisatakse järgmiste numbrite summale.

Lahutamisel lahutatakse üksteise alla kirjutatud numbrid bitipõhiselt, alustades väikseima tähendusega numbritest. Kui esimene number on teisest väiksem, “laename” ühe kõrvalolevast (suuremast) numbrist. Praeguses numbris hõivatud ühik on võrdne numbrisüsteemi alusega. Kümnendarvus on see 10, kahendsüsteemis on see 2, kolmendsüsteemis on see 3 jne.

Näide 7

Mitu ühikut sisaldab avaldise väärtuse kahendmärki: ?

Lahendus:

Kujutagem ette kõiki avaldise numbreid kahe astmetena:

Binaarses tähistuses näeb 2 astmeni n välja nagu 1, millele järgneb n nulli. Seejärel kokku võttes ja , saame arvu, mis sisaldab 2 ühikut:

Nüüd lahutame saadud arvust 10 000. Lahutamise reeglite kohaselt laename järgmisest numbrist.

Nüüd lisage saadud arvule 1:

Näeme, et tulemuses on 2013+1+1=2015 ühikut.

Teenuse eesmärk. Teenus on loodud numbrite teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise võrgurežiim. Selleks valige selle süsteemi baas, millest soovite numbri teisendada. Komaga saab sisestada nii täisarve kui numbreid.

Saate sisestada nii täisarve, näiteks 34, kui ka murdarvu, näiteks 637,333. Murdarvude puhul näidatakse tõlke täpsus pärast koma.

Selle kalkulaatoriga kasutatakse ka järgmist:

Numbrite esitamise viisid

Binaarne (kahend)arvud - iga number tähendab ühe biti väärtust (0 või 1), kõige olulisem bitt kirjutatakse alati vasakule, täht “b” asetatakse numbri järele. Tajumise hõlbustamiseks saab märkmikud eraldada tühikutega. Näiteks 1010 0101b.
Kuueteistkümnendsüsteem (kuueteistkümnendsüsteemis) numbrid - iga tetraad on tähistatud ühe sümboliga 0...9, A, B, ..., F. Seda esitust saab tähistada erineval viisil, siin kasutatakse pärast viimast kuueteistkümnendsüsteemi ainult sümbolit "h". numbriline. Näiteks A5h. Programmitekstides võib sama numbri tähistada kas 0xA5 või 0A5h, olenevalt programmeerimiskeele süntaksist. Numbrite ja sümboolsete nimede eristamiseks lisatakse algusnull (0) tähega tähistatavast kõige olulisemast kuueteistkümnendsüsteemist vasakule.
Kümnend (kümnend) numbrid - iga bait (sõna, topeltsõna) on esindatud tavalise numbriga ja kümnendkoha esitusmärk (täht "d") jäetakse tavaliselt välja. Eelmistes näidetes toodud baidi kümnendväärtus on 165. Erinevalt kahend- ja kuueteistkümnendsüsteemist on kümnendsüsteemiga keeruline iga biti väärtust vaimselt määrata, mis on mõnikord vajalik.
oktaalne (oktaalsed) numbrid - iga bitikolmik (jaotus algab kõige vähemtähtsast) kirjutatakse arvuna 0–7, mille lõpus on "o". Sama number kirjutataks 245o. Kaheksandsüsteem on ebamugav, kuna baiti ei saa jagada võrdselt.

Algoritm arvude teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise

Tervete kümnendarvude teisendamine mis tahes muuks arvusüsteemiks toimub arvu jagamisel alusega uus süsteem nummerdades, kuni jääk jääb uue numbrisüsteemi baasist väiksemaks arvuks. Uus arv kirjutatakse jagamisjääkidena, alustades viimasest.
Tavalise kümnendmurru teisendamiseks teiseks PSS-iks korrutatakse ainult murdosa arvust uue arvusüsteemi alusega, kuni kõik nullid jäävad murdosasse või kuni on saavutatud määratud tõlketäpsus. Iga korrutamisoperatsiooni tulemusena moodustub uue arvu üks number, alustades suurimast.
Vale murdude tõlkimine toimub vastavalt reeglitele 1 ja 2. Täis- ja murdosa kirjutatakse kokku, eraldades need komaga.

Näide nr 1.

Teisendamine 2-st 8-le numbrisüsteemile 16.
Need süsteemid on kahe kordsed, seetõttu toimub tõlge vastavustabeli abil (vt allpool).

Arvu teisendamiseks kahendarvusüsteemist oktaalsesse (kuueteistkümnendsüsteemi) numbrisüsteemi on vaja jagada kahendarvud kümnendkohalt paremale ja vasakule kolmest (kuueteistkümnendsüsteemi puhul neli) numbrist koosnevateks rühmadeks, täiendades välimisi rühmi. vajadusel nullidega. Iga rühm asendatakse vastava kaheksand- või kuueteistkümnendkohanumbriga.

Näide nr 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
siin 001=1; 010=2; 111 = 7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Kuueteistkümnendsüsteemi teisendamisel peate jagama arvu neljakohalisteks osadeks, järgides samu reegleid.
Näide nr 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
siin 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Numbrite 2, 8 ja 16 teisendamine kümnendarvude süsteemiks toimub, jagades arvud eraldi ja korrutades selle süsteemi baasiga (millest arv tõlgitakse), mis on tõstetud astmeni, mis vastab selle seerianumbrile. number teisendatakse. Sel juhul nummerdatakse arvud koma vasakule (esimene number on nummerdatud 0) kasvavas järjekorras ja parem pool väheneva (st negatiivse märgiga). Saadud tulemused liidetakse.

Näide nr 4.
Näide kahendarvusüsteemist kümnendsüsteemi teisendamiseks.

1010010.101 2 = 1,2 6 +0,2 5 +1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +0,2 0 + 1,2 -1 +0,2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Näide kaheksandarvust kümnendarvu süsteemi teisendamiseks. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Kuueteistkümnendsüsteemist kümnendsüsteemi teisendamise näide. 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10

Veel kord kordame algoritmi numbrite teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise PSS-i

Kümnendarvude süsteemist:
- jagage arv tõlgitava arvusüsteemi alusega;
- leida jääk arvu täisarvulise osa jagamisel;
- kirjuta üles kõik jagamise jäägid vastupidises järjekorras;
Kahendarvusüsteemist
- Kümnendarvusüsteemi teisendamiseks on vaja leida aluse 2 korrutiste summa vastava numbriastme järgi;
- Arvu teisendamiseks oktaaliks peate arvu jagama kolmkõladeks.
  Näiteks 1000110 = 1000 110 = 106 8
- Arvu teisendamiseks kahendarvust kuueteistkümnendsüsteemiks peate jagama arvu 4-kohalisteks rühmadeks.
  Näiteks 1000110 = 100 0110 = 46 16

Süsteemi nimetatakse positsiooniliseks, mille puhul numbri olulisus või kaal sõltub selle asukohast numbris. Süsteemide vahelist seost väljendatakse tabelis.
Numbrisüsteemi vastavustabel:

Binaarne SS	Kuueteistkümnendsüsteem SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabel kaheksandarvusüsteemi teisendamiseks

Näide nr 2. Teisendage arv 100.12 kümnendarvusüsteemist kaheksandarvusüsteemiks ja vastupidi. Selgitage lahknevuste põhjuseid.
Lahendus.
1. etapp. .

Kirjutame jaotuse ülejäänud osa vastupidises järjekorras. Saame arvu 8. numbrisüsteemis: 144
100 = 144 8

Arvu murdosa teisendamiseks korrutame murdosa järgemööda alusega 8. Selle tulemusena kirjutame iga kord üles kogu korrutise osa.
0,12*8 = 0,96 (täisarvuline osa 0 )
0,96*8 = 7,68 (täisarv 7 )
0,68*8 = 5,44 (täisarv 5 )
0,44*8 = 3,52 (täisarv 3 )
Saame numbri 8. numbrisüsteemis: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2. etapp. Arvu teisendamine kümnendarvusüsteemist kaheksandarvusüsteemi.
Tagurpidi teisendamine kaheksandarvusüsteemist kümnendsüsteemiks.

Täisarvulise osa tõlkimiseks peate korrutama numbri numbri vastava numbriastmega.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Murdosa teisendamiseks peate jagama numbri numbri vastava numbriastmega
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Erinevus 0,0001 (100,12 - 100,1199) on seletatav ümardamisveaga kaheksandarvusüsteemi teisendamisel. Seda viga saab vähendada, kui võtate suurema arvu numbreid (näiteks mitte 4, vaid 8).

Teisendamine kümnendarvusüsteemi

1. harjutus. Millisele arvule 24 16 vastab kümnendsüsteemis?

Lahendus.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Vastus. 24 16 = 36 10

2. ülesanne. On teada, et X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Mis on X väärtus kümnendarvusüsteemis?

Lahendus.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Leidke arv: X = 6 + 4 + 5 = 15

Vastus. X = 15 10

3. ülesanne. Arvutage summa 10 2 + 45 8 + 10 16 väärtus kümnendsüsteemis.

Lahendus.

Teisendame iga termini kümnendarvude süsteemi:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Summa on: 2 + 37 + 16 = 55

Teisendamine kahendarvusüsteemi

1. harjutus. Mis on kahendarvuna arv 37?

Lahendus.

Saate teisendada, jagades 2-ga ja kombineerides jäägid vastupidises järjekorras.

Teine võimalus on lagundada arv kahe astmete summaks, alustades suurimast, mille arvutatud tulemus on etteantud arvust väiksem. Teisendamisel tuleks arvu puuduvad astmed asendada nullidega:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Vastus. 37 10 = 100101 2 .

2. ülesanne. Mitu olulist nulli on kümnendarvu 73 kahendmärgistuses?

Lahendus.

Jagame arvu 73 kahe astmete summaks, alustades suurimast ja seejärel korrutades puuduvad astmed nullidega ning olemasolevad astmed ühega:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Vastus. Kümnendarvu 73 kahendkujul on neli olulist nulli.

3. ülesanne. Arvutage arvude x ja y summa, kui x = D2 16, y = 37 8. Esitage tulemus kahendarvusüsteemis.

Lahendus.

Tuletage meelde, et kuueteistkümnendsüsteemi iga number koosneb neljast kahendnumbrist ja kaheksandarvu iga number kolmest:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Liidame saadud arvud kokku:

11010010 11111 -------- 11110001

Vastus. Arvude D2 16 ja y = 37 8 summa, mis on esitatud kahendarvusüsteemis, on 11110001.

4. ülesanne. Arvestades: a= D7 16, b= 331 8 . Milline number c, mis on kirjutatud kahendarvusüsteemis, vastab tingimusele a< c < b ?

11011001
11011100
11010111
11011000

Lahendus.

Teisendame arvud kahendarvusüsteemi:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Kõigi numbrite neli esimest numbrit on samad (1101). Seetõttu on võrdlust lihtsustatud nelja alumise numbri võrdlemisega.

Loendi esimene number on võrdne numbriga b, seega ei sobi.

Teine number on suurem kui b. Kolmas number on a.

Sobib ainult neljas number: 0111< 1000 < 1001.

Vastus. Neljas variant (11011000) vastab tingimusele a< c < b .

Ülesanded väärtuste määramiseks erinevates arvusüsteemides ja nende alustes

1. harjutus. Tähemärkide @, $, &, % kodeerimiseks kasutatakse kahekohalisi järjestikuseid kahendnumbreid. Esimene märk vastab numbrile 00. Neid märke kasutades kodeeriti järgmine jada: $%&&@$. Dekodeerige see jada ja teisendage tulemus kuueteistkümnendsüsteemiks.

Lahendus.

1. Võrdleme kahendnumbreid nende kodeeritud tähemärkidega:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Teisendage kahendarvud kuueteistkümnendsüsteemiks:
0111 1010 0001 = 7A1

Vastus. 7A1 16.

2. ülesanne. Aias on 100 x viljapuid, millest 33 x õunapuud, 22 x pirnid, 16 x ploomid, 17 x kirsid. Mis on arvusüsteemi (x) alus.

Lahendus.

1. Pange tähele, et kõik terminid on kahekohalised numbrid. Mis tahes arvusüsteemis saab neid esitada järgmiselt:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kus a ja b on arvu vastavate numbrite numbrid.
Kolmekohalise numbri puhul oleks see järgmine:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Probleemi tingimus on:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Asendame arvud valemitega:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Lahendage ruutvõrrand:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D ruutjuur on 11.
Ruutvõrrandi juured:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 või x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Negatiivne arv ei saa olla arvusüsteemi aluseks. Seetõttu saab x olla võrdne ainult 9-ga.

Vastus. Numbrisüsteemi nõutav alus on 9.

3. ülesanne. Mõne alusega arvusüsteemis kirjutatakse kümnendarvuks 12 110. Leia see alus.

Lahendus.

Kõigepealt kirjutame arvu 110 läbi valemi, mis võimaldab arvude kirjutamist positsioonilistes arvusüsteemides, et leida väärtus kümnendarvusüsteemis, ja seejärel leiame baasi toore jõu abil.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Peame saama 12. Proovime 2: 2 2 + 2 = 6. Proovime 3: 3 2 + 3 = 12.

See tähendab, et arvusüsteemi alus on 3.

Vastus. Numbrisüsteemi nõutav alus on 3.

4. ülesanne. Millises arvusüsteemis oleks kümnendarvu 173 esindatud kui 445?

Lahendus.
Tähistame tundmatut alust kui X. Kirjutame järgmise võrrandi:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
Võttes arvesse asjaolu, et mis tahes positiivne arv nulli astmeni on võrdne 1-ga, kirjutame võrrandi ümber (me ei näita alust 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Muidugi saab sellist ruutvõrrandit lahendada diskriminandi abil, kuid on ka lihtsam lahendus. Lahutage paremalt ja vasakult küljelt 4. Saame
169 = 4 * X 2 + 4 * X + 1 või 13 2 = (2 * X + 1) 2
Siit saame 2*X +1 = 13 (jätame negatiivse juure kõrvale). Või X = 6.
Vastus: 173 10 = 445 6

Probleemid arvusüsteemide mitme aluse leidmisel

On ülesannete rühm, milles peate loetlema (kasvavas või kahanevas järjekorras) kõik arvusüsteemide alused, milles antud arvu esitus lõpeb antud numbriga. See probleem lahendatakse üsna lihtsalt. Kõigepealt peate antud numbri algsest numbrist lahutama. Saadud arv on arvusüsteemi esimene alus. Ja kõik muud alused saavad olla ainult selle arvu jagajad. (See väide on tõestatud arvude ühest arvusüsteemist teise teisendamise reegli alusel – vt lõik 4). Pea seda lihtsalt meeles arvusüsteemi alus ei saa olla väiksem kui etteantud number!

Näide
Eraldatuna komadega, kasvavas järjekorras märkige kõik arvusüsteemide alused, milles arv 24 lõpeb 3-ga.

Lahendus
24 – 3 = 21 on esimene alus (13 21 = 13 * 21 1 + 3 * 21 0 = 24).
21 jagub 3 ja 7-ga. Arv 3 ei sobi, sest 3. põhinumbrisüsteemis pole numbrit 3.
Vastus: 7, 21

Arvusüsteemide põhimõisted

Numbrisüsteem on reeglite ja tehnikate kogum numbrite kirjutamiseks digitaalsete märkide komplekti kasutades. Numbrite arvu süsteemis kirjutamiseks vajalikku numbrite arvu nimetatakse numbrisüsteemi baasiks. Süsteemi alus on kirjutatud numbri paremale küljele alaindeksis: ; ; jne.

Numbrisüsteeme on kahte tüüpi:

positsiooniline, kui numbri iga numbri väärtuse määrab selle asukoht numbrikirjes;

mittepositsiooniline, kui numbris oleva numbri väärtus ei sõltu selle kohast numbri tähistuses.

Mittepositsioonilise arvusüsteemi näide on rooma oma: numbrid IX, IV, XV jne. Positsioonilise numbrisüsteemi näide on iga päev kasutatav kümnendsüsteem.

Mis tahes täisarvu positsioonisüsteemis saab kirjutada polünoomi kujul:

kus S on arvusüsteemi alus;

Antud arvusüsteemis kirjutatud arvu numbrid;

n on numbri numbrite arv.

Näide. Number kirjutatakse polünoomi kujul järgmiselt:

Numbrisüsteemide tüübid

Rooma numbrisüsteem on mittepositsiooniline süsteem. See kasutab numbrite kirjutamiseks ladina tähestiku tähti. Sel juhul tähendab I täht alati ühte, V täht viit, X kümmet, L viiskümmend, C sada, D viissada, M tuhat jne. Näiteks number 264 on kirjutatud kui CCLXIV. Rooma arvusüsteemis arvude kirjutamisel on arvu väärtuseks selles sisalduvate numbrite algebraline summa. Sel juhul on numbrikirje numbrid reeglina oma väärtuste kahanevas järjekorras ning kõrvuti ei tohi kirjutada rohkem kui kolm identset numbrit. Kui suurema väärtusega numbrile järgneb väiksema väärtusega number, on selle panus arvu kui terviku väärtusesse negatiivne. Tüüpilised näited, mis illustreerivad arvude kirjutamise üldreegleid rooma numbrite süsteemis, on toodud tabelis.

Tabel 2. Numbrite kirjutamine rooma numbrite süsteemis


		III

	VII	VIII

	XIII	XVIII	XIX	XXII

XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Rooma süsteemi puuduseks on formaalsete reeglite puudumine numbrite kirjutamiseks ja vastavalt mitmekohaliste arvudega aritmeetiliste toimingute puudumine. Rooma numbrite süsteemi kasutatakse selle ebamugavuse ja suure keerukuse tõttu praegu seal, kus see on tõeliselt mugav: kirjanduses (peatükkide nummerdamine), dokumentide kujundamisel (passide seeria, väärtpaberid jne), dekoratiivsetel eesmärkidel. kella sihverplaat ja mitmel muul juhul.

Kümnendarvude süsteem on praegu kõige tuntum ja kasutatav. Kümnendarvude süsteemi leiutamine on inimmõtte üks peamisi saavutusi. Ilma selleta ei saaks moodne tehnoloogia peaaegu eksisteerida, veel vähem tekkida. Põhjus, miks kümnendarvusüsteem sai üldtunnustatud, pole sugugi matemaatiline. Inimesed on harjunud lugema kümnendarvusüsteemis, sest neil on käel 10 sõrme.

Kümnendnumbrite iidne kujutis (joonis 1) ei ole juhuslik: iga number tähistab arvu selles olevate nurkade arvu järgi. Näiteks 0 - nurki pole, 1 - üks nurk, 2 - kaks nurka jne. Kümnendarvude kirjutamine on läbi teinud olulisi muudatusi. Meie kasutatav vorm loodi 16. sajandil.

Kümnendsüsteem ilmus esmakordselt Indias umbes 6. sajandil pKr. India numeratsioonis kasutati tühja positsiooni tähistamiseks üheksat numbrimärki ja nulli. Varastes India käsikirjades, mis on meieni jõudnud, kirjutati numbrid vastupidises järjekorras - kõige olulisem number paigutati paremale. Kuid peagi sai reegliks selline number vasakule küljele paigutada. Erilist tähtsust omistati nulli sümbolile, mis võeti kasutusele positsioonimärgisüsteemi jaoks. India numeratsioon, sealhulgas null, on säilinud tänapäevani. Euroopas levisid hinduistlikud kümnendaritmeetika meetodid 13. sajandi alguses. tänu Itaalia matemaatiku Leonardo Pisa (Fibonacci) tööle. Eurooplased laenasid India numbrisüsteemi araablastelt, nimetades seda araabia keeleks. See ajalooline väärnimetus jätkub tänapäevani.

Kümnendsüsteem kasutab kümnendkohalist numbrit – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 –, samuti sümboleid “+” ja “–”, et tähistada numbrimärki ja koma või punkt täis- ja kümnendosa eraldamiseks.

Arvutid kasutavad kahendarvusüsteemi, selle aluseks on arv 2. Arvude kirjutamiseks selles süsteemis kasutatakse ainult kahte numbrit - 0 ja 1. Vastupidiselt levinud eksiarvamusele ei leiutanud kahendarvusüsteemi arvutikonstruktorid, vaid matemaatikud ja filosoofid ammu enne arvutite tekkimist, 17.–19. sajandil. Esimene avaldatud arutelu kahendarvusüsteemist on Hispaania preestri Juan Caramuel Lobkowitzi poolt (1670). Üldist tähelepanu sellele süsteemile äratas saksa matemaatiku Gottfried Wilhelm Leibnizi artikkel, mis avaldati 1703. aastal. Selles selgitati liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise binaartehteid. Leibniz ei soovitanud seda süsteemi kasutada praktilisteks arvutusteks, kuid rõhutas selle tähtsust teoreetilise uurimistöö jaoks. Aja jooksul muutub kahendarvusüsteem üldtuntuks ja areneb.

Arvutitehnoloogias kasutatava binaarsüsteemi valik on seletatav sellega, et elektroonilised elemendid - arvutikiipe moodustavad päästikud - saavad olla ainult kahes tööolekus.

Binaarse kodeerimissüsteemi abil saate salvestada mis tahes andmeid ja teadmisi. Seda on lihtne mõista, kui mäletame morsekoodi abil teabe kodeerimise ja edastamise põhimõtet. Telegraafioperaator, kes kasutab ainult kahte selle tähestiku sümbolit - punkte ja sidekriipse, suudab edastada peaaegu iga teksti.

Binaarsüsteem on arvutile mugav, kuid inimesele ebamugav: numbrid on pikad ning neid on raske kirjutada ja meelde jätta. Muidugi saate arvu teisendada kümnendsüsteemiks ja kirjutada sellel kujul ning seejärel, kui peate selle tagasi teisendama, kuid kõik need tõlked on töömahukad. Seetõttu kasutatakse kahendarvuga seotud arvusüsteeme - kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemi. Nendes süsteemides numbrite kirjutamiseks on vaja vastavalt 8 ja 16 numbrit. Kuueteistkümnendsüsteemis on esimesed 10 numbrit tavalised ja seejärel kasutatakse suuri ladina tähti. Kuueteistkümnendnumber A vastab kümnendarvule 10, kuueteistkümnendsüsteem B kümnendarvule 11 jne. Nende süsteemide kasutamine on seletatav asjaoluga, et üleminek numbri kirjutamisele mis tahes süsteemis selle kahendsüsteemist on väga lihtne. Allpool on erinevates süsteemides kirjutatud numbrite vastavustabel.

Tabel 3. Erinevates arvusüsteemides kirjutatud arvude vastavus

Kümnend	Binaarne	oktaalne	Kuueteistkümnendsüsteem
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Reeglid arvude teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise

Arvude teisendamine ühest arvusüsteemist teise on masinaritmeetika oluline osa. Vaatleme tõlkimise põhireegleid.

1. Kahendarvu teisendamiseks kümnendarvuks on vaja see kirjutada polünoomi kujul, mis koosneb arvu numbrite ja 2 vastava astme korrutistest ning arvutada see vastavalt reeglitele kümnendkoha aritmeetika:

Tõlkimisel on mugav kasutada kahe astme tabelit:

Tabel 4. Arvu 2 astmed

n (kraad)
											1024

Näide. Teisendage arv kümnendsüsteemiks.

2. Kaheksandarvu teisendamiseks kümnendarvuks on vaja see üles kirjutada polünoomina, mis koosneb arvu numbrite ja arvu 8 vastava astme korrutistest ning arvutada see kümnendkoha reeglite järgi. aritmeetika:

Tõlkimisel on mugav kasutada kaheksa astmete tabelit:

Tabel 5. Arvu 8 astmed

n (kraad)

Kalkulaator võimaldab teisendada täis- ja murdarvu ühest arvusüsteemist teise. Numbrisüsteemi alus ei tohi olla väiksem kui 2 ja suurem kui 36 (lõpuks 10 numbrit ja 26 ladina tähte). Numbrite pikkus ei tohi ületada 30 tähemärki. Murdarvude sisestamiseks kasutage sümbolit. või,. Arvu teisendamiseks ühest süsteemist teise sisestage esimesele väljale algne arv, teisele algse numbrisüsteemi alus ja kolmandale väljale selle numbrisüsteemi alus, millesse soovite arvu teisendada, seejärel klõpsake nuppu "Hangi salvestus".

Algne number kirjutatud 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -ndas numbrisüsteem.

Ma tahan saada numbri sisse kirjutatud 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ndas numbrisüsteem.

Hankige sissepääs

Tõlked valmis: 3722471

Samuti võite olla huvitatud:

Tõe tabeli kalkulaator. SDNF. SKNF. Zhegalkini polünoom

Numbrisüsteemid

Numbrisüsteemid jagunevad kahte tüüpi: positsiooniline Ja mitte positsiooniline. Meie kasutame araabia süsteemi, see on positsiooniline, aga on ka rooma süsteem – see ei ole positsiooniline. Positsioonisüsteemides määrab numbri asukoht numbris üheselt selle arvu väärtuse. Seda on lihtne mõista, vaadates näitena mõnda numbrit.

Näide 1. Võtame kümnendarvude süsteemis arvu 5921. Nummerdame numbri paremalt vasakule, alustades nullist:

Arvu 5921 saab kirjutada järgmisel kujul: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Arv 10 on tunnus, mis määrab numbrisüsteemi. Antud arvu asukoha väärtused võetakse astmetena.

Näide 2. Mõelge tegelikule kümnendarvule 1234.567. Nummerdame selle, alustades arvu nullasendist kümnendkohalt vasakule ja paremale:

Arvu 1234,567 saab kirjutada järgmisel kujul: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6,10 -2 +7,10 -3.

Arvude teisendamine ühest numbrisüsteemist teise

Enamik lihtsal viisil arvu teisendamine ühest arvusüsteemist teise tähendab esmalt arvu teisendamist kümnendarvusüsteemiks ja seejärel saadud tulemuse vajalikuks arvusüsteemiks.

Arvude teisendamine mis tahes arvusüsteemist kümnendarvusüsteemi

Arvu teisendamiseks suvalisest arvusüsteemist kümnendarvuks piisab selle numbrite nummerdamisest, alustades nullist (komakohast vasakul olev number) sarnaselt näitele 1 või 2. Leiame numbrite korrutiste summa arvust numbrisüsteemi aluse järgi selle numbri positsiooni astmeni:

1. Teisendage arv 1001101.1101 2 kümnendsüsteemiks.
Lahendus: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Vastus: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Teisendage arv E8F.2D 16 kümnendarvude süsteemiks.
Lahendus: E8F.2D 16 = 14,16 2 +8,16 1 +15,16 0 +2,16 -1 +13,16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Vastus: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Arvude teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Arvude teisendamiseks kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi, tuleb arvu täis- ja murdosa teisendada eraldi.

Arvu täisarvulise osa teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Täisarvuline osa teisendatakse kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi, jagades arvu täisarvu järjestikuse osa arvusüsteemi alusega, kuni saadakse terve jääk, mis on väiksem kui arvusüsteemi alus. Tõlke tulemuseks on ülejäänu kirje, alustades viimasest.

3. Teisendage arv 273 10 kaheksandarvude süsteemiks.
Lahendus: 273 / 8 = 34 ja jääk 1. 34 / 8 = 4 ja jääk 2, 4 on väiksem kui 8, nii et arvutus on lõpetatud. Saldode rekord näeb välja selline: 421
Läbivaatus: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, tulemus on sama. See tähendab, et tõlge tehti õigesti.
Vastus: 273 10 = 421 8

Vaatleme tavaliste kümnendmurdude tõlkimist erinevatesse arvusüsteemidesse.

Arvu murdosa teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Tuletame meelde, et kutsutakse korralikku kümnendmurdu null täisarvuga reaalarv. Sellise arvu teisendamiseks N-põhiseks arvusüsteemiks peate arvu järjestikku korrutama N-ga, kuni murdosa läheb nulli või saadakse vajalik arv numbreid. Kui korrutamise käigus saadakse arv, mille täisarv on nullist erinev, siis seda täisarvu enam arvesse ei võeta, kuna see sisestatakse tulemusesse järjestikku.

4. Teisendage arv 0,125 10 kahendarvusüsteemi.
Lahendus: 0,125·2 = 0,25 (0 on täisarv, millest saab tulemuse esimene number), 0,25·2 = 0,5 (0 on tulemuse teine number), 0,5·2 = 1,0 (1 on kolmas number) tulemusest ja kuna murdosa on null , siis on tõlge lõpetatud).
Vastus: 0.125 10 = 0.001 2