Veel paar tuhat aastat tagasi viis mõõtmisvajadus inimeste seni kasutatud naturaalarvude hulga laienemiseni. Kasutusele võeti uued, murdarvud, mille abil sai võimalikuks teha mõõtmisi (pikkused, pindalad, kaalud jne) mis tahes instrumentide poolt lubatud täpsusastmega.

Negatiivsete arvude puhul see nii ei olnud. Inimeste praktilises tegevuses puudus vajadus negatiivsete arvude sisseviimiseks ning need kinnistusid matemaatikas kindlalt ja võeti kasutusele alles 17. sajandil.

Kuid matemaatikas endas on vajadus arvulist hulka laiendada uute, negatiivsete arvude sisseviimisega juba pikka aega ja matemaatikateaduse arenedes muutus see vajadus üha tungivamaks.

Nii tegi Kreeka matemaatik Diophantus 3. sajandil näiteks mõningaid teisendusi.

õigupoolest kasutas ta juba negatiivsete arvude korrutamise reeglit, mida ta väljendas järgmiselt: „Mis lahutada, korrutada liidetuga, annab äravõetava tulemuse. See, mis ära võetakse, korrutatakse äravõetavaga, annab tulemuseks selle, mis on lisatud.

Sellest sõnastusest on selge, et Diophantos ei tunnistanud veel negatiivsete arvude iseseisvat olemasolu; tema jaoks olid need samad arvud, "lahutatud" mõnest teisest arvust. Seetõttu, kui näiteks võrrandi lahendamisel saadi negatiivne juur, lükkas Diophantus selle lihtsalt tagasi kui "vastuvõetamatu".

Kuid juba India teadlane Bramagupta (7. sajand) kasutas oma arvutustes vabalt negatiivseid numbreid ja andis neile visuaalse tõlgenduse. Ta tähistas vara positiivsete arvudega ja võlga negatiivsete arvudega.

Sellel visuaalsel kujul andis ta ka reeglid toimingutele koos ratsionaalsetega. numbrid, näiteks: „Kahe omaduse summa on omadus. Kahe võla summa on võlg. Vara ja võla summa on võrdne nende vahega ja kui need on võrdsed, siis null” jne.

India matemaatik Bhaskara (12. sajand) kasutab negatiivse arvu võimsust. Tema essee “Süsteemi kroon” ütleb:

"Nii positiivse kui ka negatiivse arvu ruut annab positiivse arvu, näiteks:

Euroopas nimetasid 16. sajandi matemaatikud, kuigi nad mõnikord kasutasid negatiivseid arve, neid siiski keerukateks ja ebaselgeteks, vähem kui mitte midagi jne.

Ainult Hollandi matemaatik Girard (XVI-XVII sajand) kasutab negatiivseid arve võrdselt positiivsetega. Niisiis, võrrandi lahendamine

ta annab kolm selle juurt:

Loodusteaduste ja tehnika kiire areng 17. sajandil esitas matemaatikale suuremaid nõudmisi, nõudes selle edasiarendamist ja matemaatilise aparatuuri täiustamist. Negatiivsete arvude mittekasutamine tekitas tarbetuid raskusi matemaatilistes arvutustes ja teisendustes. Alates 17. sajandist on negatiivsed arvud matemaatikas kindlalt kinnistunud ja leidnud praktilist rakendust. Prantsuse filosoof ja matemaatik Descartes annab arvude visuaalse tõlgenduse arvuteljel olevate punktide abil. Ta kasutab negatiivseid numbreid erinevate protsesside ja algebraliste avaldiste graafiliseks esitamiseks.

Inimene mõtles arvu välja selleks, et enda ja teiste jaoks loendamise ja mõõtmise tulemusi kuidagi näidata. Ilmselt tekkisid esimesed inimeste arvu mõisted paleoliitikumi ajastul, kuid arenesid välja juba neoliitikumis. Arvude ilmumise esimene samm oli ilmselt teadlikkus mõõtude jagamisest "üheks" ja "paljuks".

Antiikmaailmas hakati numbrite tähistamiseks kasutama esimest korda spetsiaalseid märke: nende kujutisi säilitati Mesopotaamia savitahvlitel, Egiptuse papüürustel jne.

Matemaatika arenes edasi. Ja erinevates riikides hakkasid kujunema oma erilised, autentsed ja märgatavalt erinevad numbrisüsteemid. Isegi koolilaps teab nüüd, kuidas rooma ja araabia numbrikirjad erinesid. Numbrid on olulise ja väärtusliku leiutise ja pärandina edasi antud riigist riiki, kultuurist kultuuri. Kaasaegsed numbrid, millele on üles ehitatud nii slaavi kui ka lääne tsivilisatsioon, on araabia numbrid, kuid laenatud Indiast. Paljud numbrid, mis on nüüd kõigile tuttavad, leiutati Indias, näiteks number “0”.

Arvude jagamine positiivseteks ja negatiivseteks pärineb keskaja matemaatikute arengutest. Jällegi kasutati negatiivseid numbreid esmakordselt Indias. See muutis kaupmeestel kahjude ja võlgade arvutamise lihtsamaks. Sel ajal oli aritmeetika juba kõrgelt arenenud rakendusvaldkond ja algebra hakkas arenema. Descartes'i geomeetria, tema koordinaatsüsteemide kasutuselevõtuga tulid negatiivsed arvud kindlalt kasutusele. Nad pole siit tänaseni lahkunud.

Kompleksarvud on kaasaegne mõiste, selliseid arve nimetatakse ka "imaginaarseteks arvudeks" ja need on tuletatud kuup- ja ruutvõrrandite formaalsest lahendusest. Nende "isa" oli keskaegne matemaatik Gerolamo Cardano. Descartes'i ajal kinnistusid kompleksarvud, nagu ka negatiivsed arvud, matemaatilises kasutuses kindlalt.

NUMBER, üks matemaatika põhimõisteid; tekkis iidsetel aegadel ning järk-järgult laienes ja üldistus. Seoses üksikute objektide loendamisega tekkis positiivsete täisarvude (looduslike) arvude mõiste ja seejärel idee loomulike arvude jadade piiramatusest: 1, 2, 3, 4. Pikkuste mõõtmise ülesanded , pindalad jne, aga ka nimeliste suuruste osade eraldamine viis ratsionaalse (murdarvu) kontseptsioonini. Negatiivsete arvude mõiste tekkis indiaanlaste seas 6.-11.

Esmakordselt leitakse negatiivseid numbreid ühes iidse Hiina traktaadi “Matemaatika üheksas peatükis” (Jan Can – 1. sajand eKr) raamatutest. Negatiivse arvu all mõisteti võlga ja positiivset varana. Negatiivsete arvude liitmine ja lahutamine toimus võla arutluskäigu põhjal. Näiteks oli liitmise reegel sõnastatud järgmiselt: "Kui lisate ühele võlale veel ühe võla, on tulemuseks võlg, mitte vara." Siis puudus miinusmärk ja positiivsete ja negatiivsete arvude eristamiseks kirjutas Can Can need erinevat värvi tindiga.

Negatiivsete arvude ideel oli matemaatikas raske kohta saada. Need arvud tundusid antiikaja matemaatikutele arusaamatud ja isegi valed ning nendega tehtavad toimingud olid ebaselged ja neil polnud tegelikku tähendust.

Negatiivsete arvude kasutamine India matemaatikute poolt.

6. ja 7. sajandil pKr kasutasid India matemaatikud juba süstemaatiliselt negatiivseid arve, mõistes neid endiselt kui kohustust. Alates 7. sajandist on India matemaatikud kasutanud negatiivseid arve. Nad nimetasid positiivseid numbreid "dhana" või "sva" ("vara") ja negatiivseid numbreid "rina" või "kshaya" ("võlg"). Esmakordselt andis kõik neli negatiivsete arvudega aritmeetilist tehtet India matemaatik ja astronoom Brahmagupta (598 - 660).

Näiteks sõnastas ta jagamisreegli järgmiselt: „Positiivne jagatud positiivsega või negatiivne jagatud negatiivsega muutub positiivseks. Kuid positiivne jagatud negatiivsega ja negatiivne jagatud positiivsega jääb negatiivseks."

(Brahmagupta (598 - 660) on India matemaatik ja astronoom. Meieni on jõudnud Brahmagupta töö “Brahma süsteemi läbivaatamine” (628), millest märkimisväärne osa on pühendatud aritmeetikale ja algebrale. Kõige olulisem on siin aritmeetilise progressiooni õpetus ja ruutvõrrandite lahendamine, millega Brahmagupta tegeles kõigil juhtudel, kus neil olid reaalsed lahendid.Brahmagupta tunnistas ja arvestas nulli kasutamist kõigis aritmeetilistes tehetes.Lisaks lahendas Brahmagupta mõned ebamäärased võrrandid täisarvudes, ta andis ratsionaalsete külgedega täisnurksete kolmnurkade koostamise reegel jne. Brahmagupta oli pöördkolmikreegel on teada, see sisaldab lähendust P, varaseim 2. järku interpolatsioonivalem Tema interpolatsioonireegel siinuse ja pöördsiinuse jaoks võrdsete intervallidega on eriline Newtoni–Stirlingi interpolatsioonivalemi juhtum Ühes hilisemas töös annab Brahmagupta interpolatsioonireegli ebavõrdsete intervallide jaoks. Tema teosed tõlgiti araabia keelde 8. sajandil.)

Leonard Fibonacci Pisast negatiivsete arvude mõistmine.

Indiaanlastest sõltumatult hakkas Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci Pisast (13. sajand) mõistma negatiivseid arve positiivsete arvude vastandina. Kuid kulus veel umbes 400 aastat, enne kui "absurdsed" (mõttetud) negatiivsed numbrid said matemaatikute seas täieliku tunnustuse ja probleemide negatiivseid lahendusi ei lükatud enam tagasi kui võimatuid.

(Leonardo Fibonacci Pisast (umbes 1170 - pärast 1228) - itaalia matemaatik. Sündis Pisas (Itaalia). Alghariduse omandas Bushis (Alžeeria) kohaliku õpetaja juhendamisel. Siin omandas ta aritmeetika ja algebra araablased.Külastasin paljusid Euroopa ja Ida riike ning kõikjal täiendasin oma teadmisi matemaatikast.

Ta avaldas kaks raamatut: "Abakuse raamat" (1202), kus aabitsat ei peetud niivõrd instrumendiks, kuivõrd arvutuseks üldiselt, ja "Praktiline geomeetria" (1220). Esimese raamatu põhjal uurisid paljud Euroopa matemaatikute põlvkonnad India positsiooninumbrisüsteemi. Materjali esitlus selles oli originaalne ja elegantne. Teadlane tegi ka oma avastusi, eelkõige algatas T. N. Fibonacci numbritega seotud probleemide väljatöötamise ja andis originaalse meetodi kuupjuure eraldamiseks. Tema teosed said laialt levinud alles 15. sajandi lõpus, kui Luca Pacioli need revideeris ja avaldas oma raamatus Summa.

Mihhail Stifeli negatiivsete arvude käsitlemine uuel viisil.

1544. aastal käsitles saksa matemaatik Michael Stiefel esimest korda negatiivseid numbreid kui nullist väiksemaid arve (st "vähem kui mitte midagi"). Sellest hetkest alates ei vaadelda negatiivseid numbreid enam kui võlga, vaid täiesti uutmoodi. (Mihhail Stiefel (19.04.1487 - 19.06.1567) - kuulus saksa matemaatik. Michael Stiefel õppis katoliku kloostris, seejärel hakkas huvi tundma Lutheri ideede vastu ja temast sai maaprotestantlik pastor. Piiblit uurides püüdis ta leida matemaatilist tõlgendust selles.Selle tulemusena ennustas tema uurimus 19. oktoobril 1533 maailmalõppu, mida muidugi ei juhtunud ja Michael Stiefel vangistati Württembergi vanglas, kust Luther ise ta päästis.

Pärast seda pühendas Stiefel oma töö täielikult matemaatikale, milles ta oli iseõppinud geenius. Üks esimesi Euroopas pärast seda, kui N. Schuke hakkas opereerima negatiivsete arvudega; kasutusele murd- ja nullastendajad, samuti mõiste “astendaja”; teoses “Täielik aritmeetika” (1544) andis ta murdosaga jagamise reegli jagaja pöördarvuga korrutamisena; astus esimese sammu suurte arvudega arvutusi lihtsustavate tehnikate väljatöötamisel, mille jaoks võrdles kahte progressiooni: geomeetrilist ja aritmeetilist. Hiljem aitas see I. Bürgil ja J. Napieril koostada logaritmilisi tabeleid ja arendada logaritmilisi arvutusi.)

Girardi ja Rene Descartesi kaasaegne tõlgendus negatiivsetest arvudest.

Negatiivsete arvude tänapäevane tõlgendus, mis põhineb ühikuliste segmentide joonistamisel nullist vasakul asuvale arvujoonele, on antud 17. sajandil, peamiselt Hollandi matemaatiku Girardi (1595–1634) ning kuulsa prantsuse matemaatiku ja filosoofi töödes. René Descartes (1596–1650). ) (Girard Albert (1595 - 1632) – Belgia matemaatik. Girard sündis Prantsusmaal, kuid põgenes katoliku kiriku tagakiusamise eest Hollandisse, kuna ta oli protestant. Albert Girard andis suure panuse algebra arendamisele. Tema põhitööks oli raamat „Uus avastus algebras". Esimest korda esitas ta algebra fundamentaalse teoreemi juure olemasolu kohta algebralises võrrandis tundmatuga. Kuigi esmalt oli range tõestus andis Gauss. Girard vastutas sfäärilise kolmnurga pindala valemi tuletamise eest.) Alates 1629. aastast Hollandis. Ta pani aluse analüütilisele geomeetriale, andis muutuvate suuruste ja funktsioonide mõisted ning võttis kasutusele palju algebralisi tähistusi. Ta väljendas impulsi jäävuse seadust ja andis jõu impulsi mõiste. Teooria autor, mis seletab taevakehade teket ja liikumist aineosakeste keerisliikumisega (Descartes'i keerised). Võttis kasutusele refleksi mõiste (Descartes'i kaar). Descartes’i filosoofia aluseks on hinge ja keha, “mõtlemise” ja “laiendatud” substantsi dualism. Ta samastas aine laiendusega (või ruumiga) ja taandas liikumise kehade liikumiseks. Liikumise üldine põhjus on Descartes'i järgi Jumal, kes lõi mateeria, liikumise ja puhkuse. Inimene on ühendus elutu kehamehhanismi ja mõtlemise ja tahtega hinge vahel. Kõigi teadmiste tingimusteta alus on Descartes’i järgi teadvuse vahetu kindlus (“mõtlen, järelikult olen olemas”). Jumala olemasolu peeti inimmõtlemise objektiivse tähtsuse allikaks. Teadmiste õpetuses on Descartes ratsionalismi rajaja ja kaasasündinud ideede doktriini toetaja. Peateosed: “Geomeetria” (1637), “Diskursus meetodist. "(1637), "Filosoofia põhimõtted" (1644).

DESCARTES (Descartes) Rene (latiniseeritud – Cartesius; Cartesius) (31. märts 1596, Lae, Touraine, Prantsusmaa – 11. veebruar 1650, Stockholm), prantsuse filosoof, matemaatik, füüsik ja füsioloog, kaasaegse Euroopa ratsionalismi rajaja ja üks New Age'i mõjukamad metafüüsikud.

Elu ja kirjutised

Aadliperekonnas sündinud Descartes sai hea hariduse. 1606. aastal saatis isa ta La Flèche'i jesuiitide kolledžisse. Arvestades Descartes'i mitte eriti head tervist, tehti talle näiteks selle õppeasutuse ranges režiimis mööndusi. , lubati teistest hiljem tõusta. Kolledžis palju teadmisi omandanud Descartes oli samal ajal läbi imbunud antipaatiast skolastilise filosoofia vastu, mida ta säilitas kogu oma elu.

Pärast kolledži lõpetamist jätkas Descartes oma haridusteed. 1616. aastal sai ta Poitiers' ülikoolis bakalaureusekraadi õigusteaduses. Aastal 1617 astus Descartes sõjaväkke ja reisis palju kogu Euroopas.

Aasta 1619 osutus Descartes'i jaoks teaduslikult võtmeaastaks. Just sel ajal, nagu ta ise oma päevikus kirjutas, avastati talle uue "kõige hämmastavama teaduse" alused. Tõenäoliselt pidas Descartes silmas universaalse teadusliku meetodi avastamist, mida ta hiljem viljakalt rakendas erinevates distsipliinides.

1620. aastatel kohtus Descartes matemaatik M. Mersenne'iga, kelle kaudu ta “hoidis aastaid ühendust” kogu Euroopa teadusringkonnaga.

1628. aastal asus Descartes üle 15 aasta Hollandisse elama, kuid ei asunud elama ühte kohta, vaid vahetas oma elukohta umbes kakskümmend korda.

Aastal 1633, saades teada, et kirik mõistis Galilei hukka, keeldus Descartes avaldamast oma loodusfilosoofilist teost “Maailm”, mis visandas universumi loomuliku päritolu ideid vastavalt mateeria mehaanilistele seadustele.

1637. aastal ilmus prantsuse keeles Descartes’i teos “Discourse on Method”, millest, nagu paljud arvavad, sai alguse kaasaegne Euroopa filosoofia.

1641. aastal ilmus Descartes'i peamine filosoofiline teos “Mõtisklused esimesest filosoofiast” (ladina keeles) ja 1644. aastal teos “Filosoofia põhimõtted”, mille Descartes koostas kui kogumiku, mis võtab kokku olulisemad metafüüsilised ja loodusfilosoofilised teooriad. autorist.

Suurt mõju Euroopa mõtteviisile avaldas ka Descartesi viimane filosoofiline teos „Hinge kired”, mis ilmus 1649. aastal läks Descartes Rootsi kuninganna Christina kutsel Rootsi. Karm kliima ja ebatavaline režiim (kuninganna sundis Descartes'i tundide andmiseks ja muude ülesannete täitmiseks ärkama kell 5 hommikul) kahjustasid Descartes'i tervist ning külmetunud, suri ta kopsupõletikku.

Descartes'i filosoofia illustreerib selgelt Euroopa kultuuri soovi vabaneda vanadest dogmadest ning ehitada uus teadus ja elu ise "nullist". Descartes usub, et tõe kriteerium saab olla ainult meie mõistuse "loomulik valgus". Descartes ei eita kogemuse kognitiivset väärtust, kuid ta näeb selle funktsiooni üksnes mõistuse appi tulemises, kus viimase enda võimetest teadmiseks ei piisa. Usaldusväärsete teadmiste saavutamise tingimuste üle mõtiskledes sõnastab Descartes “meetodireeglid”, mille abil saab jõuda tõeni. Esialgu pidas Descartes neid väga arvukateks, taandab ta „Meetodi diskursuses” need neljale peamisele sättele, mis moodustavad Euroopa ratsionalismi „kvintessentsi”: 1) alustage kahtlematust ja enesestmõistetavast, st sellest, mida ei saa. Arvatakse, et see on vastupidine, 2) jaga mis tahes probleem nii paljudeks osadeks, kui on selle tõhusaks lahendamiseks vajalik, 3) alusta lihtsast ja liigu järk-järgult keeruka poole, 4) kontrolli pidevalt järelduste õigsust. Enesestmõistetavat haarab mõistus intellektuaalses intuitsioonis, mida ei saa segi ajada sensoorse vaatlusega ja mis annab meile "selge ja selge" arusaamise tõest. Probleemi osadeks jagamine võimaldab tuvastada selles “absoluutseid” ehk enesestmõistetavaid elemente, millest saab hilisemaid järeldusi teha. Descartes nimetab deduktsiooni "mõtte liikumiseks", milles toimub intuitiivsete tõdede sidusus. Inimese intelligentsuse nõrkus nõuab astutud sammude õigsuse kontrollimist, et arutluskäigus ei tekiks lünki. Descartes nimetab seda kontrollimist "loendamiseks" või "induktsiooniks". Järjepideva ja hargnenud deduktsiooni tulemuseks peaks olema universaalsete teadmiste süsteemi, "universaalteaduse" konstrueerimine. Descartes võrdleb seda teadust puuga. Selle juur on metafüüsika, tüvi on füüsika ja selle viljakad harud moodustavad konkreetsed teadused, eetika, meditsiin ja mehaanika, mis toovad otsest kasu. Sellelt diagrammil on selge, et kõigi nende teaduste tõhususe võti on õige metafüüsika.

Mis eristab Descartesi tõdede avastamise meetodist, on juba väljatöötatud materjali esitamise meetod. Seda saab esitada "analüütiliselt" ja "sünteetiliselt". Analüütiline meetod on problemaatiline, see on vähem süstemaatiline, kuid aitab paremini mõista. Sünteetiline, justkui “geomeetriseeriv” materjal on rangem. Descartes eelistab endiselt analüüsimeetodit.

Kahtlus ja kindlus

Metafüüsika kui kõige üldisemaid olemisliike käsitleva teaduse algprobleemiks on nagu kõigi teistegi distsipliinide puhul küsimus iseenesestmõistetavatest alustest. Metafüüsika peab algama mingi eksistentsi kahtlemata väitega. Descartes “testib” enesestmõistetavaks teese maailma, Jumala ja meie “mina” olemasolu kohta. Maailma võib kujutleda olematuna, kui kujutame ette, et meie elu on pikk unistus. Kahtleda võib ka Jumala olemasolus. Kuid meie “mina”, usub Descartes, kahtluse alla seada ei saa, sest kahtlus ise oma olemasolus tõestab kahtluse ja seega kahtleva mina olemasolu. “Ma kahtlen, järelikult olen olemas” – nii sõnastab Descartes selle kõige olulisema tõe , mis tähistab Euroopa filosoofia subjektivistlikku pööret Uus aeg. Üldisemas vormis kõlab see tees nii: "Ma mõtlen, järelikult olen olemas" - cogito, ergo sum. Kahtlus on vaid üks "mõtlemisviisidest" koos soovi, ratsionaalse mõistmise, kujutlusvõime, mälu ja isegi aistingutega. Mõtlemise alus on teadvus. Seetõttu eitab Descartes alateadlike ideede olemasolu. Mõtlemine on hinge lahutamatu omadus. Hing ei saa jätta mõtlemata, see on "mõtlemise asi", res cogitans. Enda eksistentsi teesi kahtlematuks tunnistamine ei tähenda aga seda, et Descartes peab hinge olematust üldiselt võimatuks: ta ei saa muud kui eksisteerida vaid seni, kuni ta mõtleb. Muidu on hing juhuslik asi, see tähendab, et ta võib olla või mitte olla, sest ta on ebatäiuslik. Kõik juhuslikud asjad tulenevad oma olemasolust väljastpoolt. Descartes väidab, et Jumal hoiab hinge iga sekund selle olemasolus. Sellegipoolest võib seda nimetada aineks, kuna see võib eksisteerida kehast eraldi. Kuid tegelikkuses on hing ja keha omavahel tihedalt seotud. Hinge põhimõtteline sõltumatus kehast on aga Descartes’i jaoks hinge tõenäolise surematuse tagatis.

Jumala õpetus

Filosoofilisest psühholoogiast liigub Descartes edasi jumalaõpetuse juurde. Ta annab mitmeid tõendeid ülima olendi olemasolu kohta. Tuntuim on nn ontoloogiline argument: Jumal on kõikehõlmav olend, seetõttu ei saa tema kontseptsioonist puududa välise olemasolu predikaat, mis tähendab, et Jumala olemasolu ei saa ilma vastuollu sattumata eitada. Teine Descartes’i pakutud tõestus on originaalsem (esimene oli keskaegses filosoofias hästi tuntud): meie meeles on ettekujutus Jumalast, sellel ideel peab olema põhjus, kuid põhjus saab olla ainult Jumal ise, sest vastasel korral idee kõrgemast reaalsusest genereeriks asjaolu, et tal ei ole seda reaalsust, see tähendab, et tegevuses oleks rohkem reaalsust kui põhjust, mis on absurdne. Kolmas argument põhineb Jumala olemasolu vajalikkusel inimeksistentsi alalhoidmiseks. Descartes uskus, et kuigi Jumal ei ole iseenesest seotud inimliku tõe seadustega, on see siiski inimese "kaasasündinud teadmise" allikas, mis hõlmab endas nii Jumala ideed kui ka loogilisi ja matemaatilisi aksioome. Descartes usub, et meie usk välise materiaalse maailma olemasolusse tuleb Jumalalt. Jumal ei saa olla petis ja seetõttu on see usk tõsi ja materiaalne maailm on tõesti olemas.

Loodusfilosoofia

Veennud end materiaalse maailma olemasolus, asus Descartes selle omadusi uurima. Materiaalsete asjade peamine omadus on laienemine, mis võib ilmneda mitmesuguste modifikatsioonidena. Descartes eitab tühja ruumi olemasolu põhjendusega, et kõikjal, kus on laiendus, on olemas ka “laiendatud asi”, res extensa. Teised mateeria omadused on ebamääraselt ettekujutatud ja Descartes’i arvates eksisteerivad ainult tajumises ja puuduvad objektides endis. Aine koosneb elementidest tuli, õhk ja maa, ainsaks erinevuseks on nende suurus. Elemendid ei ole jagamatud ja võivad üksteiseks muutuda. Püüdes ühildada mateeria diskreetsuse mõistet teesiga tühjuse puudumise kohta, esitab Descartes väga huvitava teesi ebastabiilsuse ja kindla vormi puudumise kohta aine väikseimates osakestes. Descartes tunnistab kokkupõrget ainsaks võimaluseks edastada vastastikmõju elementide ja nende segust koosnevate asjade vahel. See toimub vastavalt püsivuse seadustele, mis tulenevad Jumala muutumatust olemusest. Väliste mõjude puudumisel ei muuda asjad oma olekut ja liiguvad sirgjooneliselt, mis on püsivuse sümbol. Lisaks räägib Descartes algse hoo säilitamisest maailmas. Liikumine ise aga ei ole mateeriale algselt omane, vaid selle toob sinna Jumal. Kuid piisab vaid ühest esialgsest tõukest, et õige ja harmooniline kosmos järk-järgult koguneks sõltumatult mateeria kaosest.

Keha ja hing

Descartes pühendas palju aega loomsete organismide toimimise seaduste uurimisele. Ta pidas neid õhukesteks masinateks, mis on võimelised iseseisvalt keskkonnaga kohanema ja adekvaatselt reageerima välismõjudele. Kogetud efekt kandub edasi ajju, mis on “loomsete vaimude”, pisikeste osakeste reservuaar, mille sisenemine lihastesse läbi pooride, mis avanevad aju “käbinääre” kõrvalekallete tõttu. hing), viib nende lihaste kokkutõmbumiseni. Keha liikumine koosneb selliste kontraktsioonide jadast. Loomadel pole hinge ja nad ei vaja neid. Descartes ütles, et teda üllatas rohkem hinge olemasolu inimestes kui selle puudumine loomades. Hinge olemasolu inimeses pole aga kasutu, sest hing suudab korrigeerida keha loomulikke reaktsioone.

Descartes füsioloog

Descartes uuris loomade erinevate organite ehitust ja uuris embrüote ehitust erinevatel arenguetappidel. Tema "vabatahtlike" ja "tahtmatute" liikumiste doktriin pani aluse kaasaegsele reflekside õpetusele. Descartesi töödes esitati refleksreaktsioonide skeemid reflekskaare tsentripetaalse ja tsentrifugaalse osaga.

Descartes’i teoste tähendus matemaatikas ja füüsikas

Descartes’i loodusteaduslikud saavutused sündisid tema väljatöötatud ühtse teaduse ühtse meetodi “kõrvalproduktina”. Descartes’i tunnustatakse kaasaegsete tähistussüsteemide loomise eest: ta võttis kasutusele märgid muutuvate suuruste (x, y, z.), koefitsientide (a, b, c) ja astmete (a2, x-1.) jaoks.

Descartes on üks võrrandite teooria autoreid: ta sõnastas märkide reegli positiivsete ja negatiivsete juurte arvu määramiseks, tõstatas küsimuse reaaljuurte piiride kohta ja esitas taandatavuse ehk esituse probleemi. terve ratsionaalne funktsioon koos ratsionaalsete koefitsientidega kahe sedalaadi funktsiooni korrutise kujul. Ta tõi välja, et 3. astme võrrand on lahendatav ruutradikaalides (ja osutas lahendusele ka kompassi ja sirgjoonega, kui võrrand on taandatav).

Descartes on üks analüütilise geomeetria (mille ta töötas välja samaaegselt P. Fermat'ga) loojaid, mis võimaldas seda teadust koordinaatmeetodil algebrastada. Tema pakutud koordinaatsüsteem sai tema nime. Descartes tutvustas oma teoses “Geomeetria” (1637), mis avas algebra ja geomeetria läbipõimumise, esmalt muutuva suuruse ja funktsiooni mõisted. Ta tõlgendab muutujat kahel viisil: muutuva pikkusega ja konstantse suunaga segmendina (kõverat kirjeldava punkti praegune koordinaat selle liikumisega) ja pideva numbrilise muutujana, mis kulgeb läbi seda lõiku väljendavat arvude kogumit. Geomeetria uurimise valdkonda hõlmas Descartes "geomeetrilised" jooned (Leibnizi poolt hiljem nimetati algebralisteks) – jooned, mida kirjeldavad liigendmehhanismid liikumises. Ta jättis oma geomeetriast välja transtsendentaalsed kõverad (Descartes ise nimetab neid "mehaanilisteks"). Seoses läätsede uurimisega (vt allpool) esitab "Geomeetria" meetodid tasapinnakõverate normaalide ja puutujate konstrueerimiseks.

"Geomeetrial" oli matemaatika arengule tohutu mõju. Descartes'i koordinaatsüsteemis said negatiivsed arvud tõelise tõlgenduse. Descartes tõlgendas reaalarve tegelikult kui mis tahes segmendi suhet ühikusse (kuigi sõnastuse andis hiljem I. Newton). Descartes’i kirjavahetus sisaldab ka tema teisi avastusi.

Optikas avastas ta valguskiirte murdumise seaduse kahe erineva keskkonna piiril (välja toodud Dioptrics, 1637). Descartes andis suure panuse füüsikasse, andes inertsiseaduse selge sõnastuse.

Descartes'i mõju

Descartesil oli tohutu mõju järgnevale teadusele ja filosoofiale. Euroopa mõtlejad võtsid omaks tema üleskutsed filosoofia kui täppisteaduse loomisele (B. Spinoza) ja metafüüsika konstrueerimisele hingeõpetuse alusel (J. Locke, D. Hume). Descartes intensiivistas ka teoloogilist debatti Jumala olemasolu tõestamise võimaluse üle. Descartes’i arutlus hinge ja keha vastastikmõju küsimusest, millele vastasid N. Malebranche, G. Leibniz jt, samuti tema kosmogoonilistel konstruktsioonidel oli tohutu resonants. Paljud mõtlejad tegid katseid formaliseerida Descartes’i metoodikat (A. Arnauld, N. Nicole, B. Pascal). 20. sajandil viitavad Descartes'i filosoofiale sageli osalejad arvukates mõttefilosoofia ja kognitiivse psühholoogia probleeme käsitlevates aruteludes.

Selle meie jaoks praegu arusaadava ja loomuliku lähenemisviisi väljatöötamiseks kulus paljude teadlaste pingutusi üle kaheksateistkümne sajandi Can Tsangist Descartes'ini.

Arvude tekkimise ajaloole pühendatud kirjanduses on märgitud, et naturaalarvud tekkisid objektide loendamisel. Inimese vajadus suurusi mõõta ja see, et mõõtmise tulemust ei väljendata alati täisarvuna, viis naturaalarvude hulga laienemiseni. Kasutusele võeti null- ja murdarvud.

Arvu mõiste ajaloolise arengu protsess sellega ei lõppenud. Kuid esimene tõuge arvu mõiste laiendamisel ei olnud alati puhtalt inimeste praktilised vajadused. Juhtus ka seda, et matemaatika enda probleemid nõudsid arvu mõiste laiendamist. Täpselt nii juhtus negatiivsete arvude tekkimisega. Negatiivsete arvude mõiste tekkis algebraliste võrrandite lahendamise praktikas.

Pärast naturaalarvude hulga laiendamist murdarvudeks sai võimalikuks jagada mis tahes täisarv teise täisarvuga (välja arvatud nulliga jagamine). Pikka aega tundus täisarvu lahutamine teisest täisarvust, kui lahutatav on suurem kui taandatav, võimatu. Võrrandite lahendamisel tuli aga sageli väiksemast lahutada suurem arv ja nii kokku puutuda negatiivse arvu mõistega.

Negatiivseid numbreid ei teadnud mitte ainult egiptlased ja babüloonlased, vaid ka vanad kreeklased. Negatiivse arvu mõiste ilmneb lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel. Arvutuste tegemiseks kasutasid tolleaegsed matemaatikud loenduslauda, ​​millel kujutati numbreid loenduspulkade abil. Kuna tollal puudusid märgid “+” ja “-”, kujutati positiivseid numbreid punaste pulkadega ja negatiivseid numbreid mustade pulkadega. Pikka aega nimetati negatiivseid numbreid sõnadeks, mis tähendasid "võlga", "puudust". Isegi 7. sajandil. Indias tõlgendati positiivseid numbreid varana ja negatiivseid võlgadena. India teadlased, püüdes leida elus näiteid väiksemast kogusest suuremaks lahutamiseks, jõudsid selle tõlgendamiseni kaubandusarvutuste vaatenurgast. “Kui kaupmehel on 5000 rahaühikut ja ta ostab kaupa 3000 rahaühiku eest, jääb tal raha üle 5000-3000 = 2000. Kui tal on 3000, aga ostab kaupa 5000 eest, siis jääb ta võlgu 2000. Selle järgi arvati, et siin tehakse 3000-5000 lahutamine, tulemuseks on arv 2000 (2000 punktiga ülemine), mis tähendab "kahe tuhande võlga". Vana-Hiinas teati ainult positiivsete ja negatiivsete arvude liitmise ja lahutamise reegleid; korrutamise ja jagamise reeglid ei kehtinud.

Tagasi 3. sajandil. Vana-Kreeka matemaatik Diophantus kasutas sellistes teisendustes negatiivsete arvude korrutamise reeglit:

Diophantuse jaoks ei ole see aga iseseisev negatiivne arv, vaid ainult "lahutav", samas kui iga positiivne arv on "liidetud". Ta väljendab korrutamise reeglit järgmiselt: „Lahutatu, korrutatu liidetavaga, annab lahutaja tulemuse; see, millest lahutatakse, annab selle, mis on lisatud. Diophantus ei tundnud üksikuid negatiivseid numbreid ära ja kui võrrandi lahendamisel saadi negatiivne juur, jättis ta selle "vastuvõetamatuks" kõrvale. Diophantos püüdis sõnastada probleeme ja koostada võrrandeid nii, et vältida negatiivseid juuri.

India matemaatikud suhtusid negatiivsetesse arvudesse hoopis teistmoodi. Nad tunnistasid võrrandi negatiivsete juurte olemasolu, tõlgendasid positiivseid numbreid kui varasid ja negatiivseid numbreid võlgadena, kohaldades nende suhtes kõiki nelja toimingu reegleid, kuid ilma korraliku teoreetilise põhjenduseta.

Siin on mõned liitmise ja lahutamise reeglid, mille kirjeldas India matemaatik Brahmagupta 7. sajandil. n. e. :

Tabel 1.1

India matemaatik Bhaskara (12. sajand) väljendas korrutamise ja jagamise reegleid järgmiselt: „Kahe vara või kahe võla korrutis on omand; vara ja võla korrutis on kahjum. Sama reegel kehtib ka jagamisel.

Vaatamata negatiivsete arvude laialdasele kasutamisele ülesannete lahendamisel võrrandite abil, suhtusid nad Indias negatiivsetesse arvudesse teatud umbusaldamisega, pidades neid omapärasteks, mitte täiesti reaalseteks. Bhaskara kirjutas otse: "Inimesed ei kiida heaks abstraktseid negatiivseid numbreid...".

Euroopa matemaatikud ei kiitnud neid pikka aega heaks, sest mõiste “omand – võlg” tõlgendus tekitas hämmeldust ja kahtlusi. Tõepoolest, varad ja võlad võib "liita" või "lahutada", kuid milline on tegelik tähendus varade "korrutamisel" või "võlaga jagamisel"?

Seetõttu saavutasid negatiivsed arvud suurte raskustega matemaatikas koha.

Euroopas mainis negatiivseid numbreid juba Leonardo Fibonacci (XII-XIII sajand). Negatiivsed arvud leiavad kasutust ja teised 14.–16. sajandi Euroopa teadlased tõlgendavad neid võlgadena; enamik teadlasi nimetab uusi numbreid aga "valedeks" numbriteks, mitte "tõelistele" positiivsetele numbritele.

See suhtumine muutus vähe pärast seda, kui saksa matemaatik Michael Stiefel andis 1544. aastal negatiivsete arvude uue definitsiooni kui arvud “vähem kui mitte midagi”, st. vähem kui null. Kuigi see seisukoht kujutas endast sammu edasi negatiivsete arvude teoreetilises põhjendamises, ei kadunud üldine segadus uute arvude olemuse osas. Pikka aega ei saanud inimesed harjuda mõttega, et on olemas väärtus "vähem kui mitte midagi...". Stiefel ise kirjutas: “Null on tõeste ja absurdsete numbrite vahel...”. Wallis defineeris positiivseid ja negatiivseid numbreid kui numbreid, mis on üksteisele vastandlikud (kasum ja kahjum). Kuid ühel juhul järeldas Wallis naturaalarvude ebavõrdsusest, et

st et negatiivsed arvud on suuremad kui lõpmatus. Euler väljendas hiljem sama seisukohta.

17. sajandil matemaatika, mehaanika ja astronoomia said laialdase arengu. Negatiivsed arvud, mille kasutamine on matemaatilisi arvutusi oluliselt hõlbustanud, kinnistuvad matemaatikas üha kindlamalt. Veel 17. sajandi 20. aastatel. Stevini õpilane, flaami matemaatik A. Girard võtab võrrandite lahendamisel süstemaatiliselt arvesse negatiivseid juuri ja kasutab negatiivseid arve võrdsetel alustel positiivsetega.

1637. aastal ilmunud prantsuse matemaatiku, füüsiku ja filosoofi Descartes’i kuulus teos “Geomeetria” kirjeldab positiivsete ja negatiivsete arvude geomeetrilist tõlgendamist; positiivsed arvud on arvuteljel kujutatud punktidega, mis asuvad algusest 0 paremal, negatiivsed - vasakul.

Positiivsete ja negatiivsete arvude geomeetriline tõlgendamine viis negatiivsete arvude olemuse selgemini mõistmiseni ja aitas kaasa nende äratundmisele. Esitades võrrandite positiivseid ja negatiivseid juuri vastassuunaliste segmentidena, uskus Descartes seeläbi, et neil juurtel on võrdsed õigused, nad on võrdselt tõelised, kuigi ta jätkas traditsiooni järgi ühtede nimetamist tõesteks ja teisi valedeks.

Negatiivsete arvudega korrutamise ja jagamise reeglid olid aga endiselt ebamõistlikud. Seetõttu isegi 18. sajandil. ei olnud veel saavutanud selget arusaama, et negatiivsed arvud kujutavad endast arvusüsteemi loomulikku laiendust, ja jätkus teadlaste vaheline vaidlus selle üle, kas negatiivseid numbreid saab tunnistada tõeliselt eksisteerivateks iseseisvalt, nagu positiivseid numbreid. Sellist tunnustust kaitsesid eelkõige Newton, Euler ja peaaegu kõik tolleaegsed vene matemaatikud. Negatiivsed arvud said üldise tunnustuse 19. sajandi esimesel poolel, mil töötati välja üsna range positiivsete ja negatiivsete täisarvude teooria.

Nagu näete, osutus negatiivsete arvude tee ajaloos keeruliseks: "valest" ja "absurdist" kuni äratundmiseni, et need eksisteerivad iseseisvalt, nagu positiivsed numbrid.

Peamine probleem, millega matemaatikud iidsetel aegadel ja keskajal silmitsi seisid, oli negatiivsete arvudega opereerimise reeglite, eriti korrutamise ja jagamise reeglite õigustamine.

Negatiivsed arvud tulid lõpuks kasutusele alles R. Descartes'i aegadest (17. sajand), kes andis negatiivsete arvude kui suunatud segmentide geomeetrilise tõlgenduse.

Negatiivsed arvud

Negatiivsete arvude ajalugualgab 7. sajandil Hiinas ja Indias. Alles siis ei nimetatud neid negatiivseteks numbriteks, vaid need olid "võlad" või "puudujäägid".

Üks Indiast pärit matemaatik pidas neid juba tollal positiivsetega võrdseks. Arusaam, et negatiivsed arvud on vajalikud ja kasulikud, tuli tasapisi.

! Euroopas kirjutas Pisa Leonard 1202. aastal esimesena negatiivsetest arvudest oma "Abakuse raamatus". Esialgu tõlgendati neid ka võlgadena. Kuid isegi vaatamata sellele uskus 17. sajandil selline kuulus teadlane nagu Pascal, et kui lahutada mis tahes positiivne arv nullist, on tulemus null.

Negatiivsete arvude tekkimise ajalugu arenes välja analüütilise geomeetria tulekuga. Nüüd esitati need geomeetrilisel teljel positiivsetega võrdsetel alustel.

1831. aastal põhjendas Gauss täielikult, et negatiivsete arvude õigused on absoluutselt samaväärsed positiivsetega ja asjaolu, et neid ei saa kõigil juhtudel rakendada, ei oma tähtsust.

! Täielik ja täiesti range negatiivsete arvude teooria loodi alles 19. sajandil (William Hamilton ja Hermann Grassmann).

Null

Null (null, alates lat. nullus - puudub) - standardsete numbrisüsteemide esimese (järjekorras) numbri nimi, samuti matemaatiline märk, mis väljendab antud väärtuse puudumistkategooria kirjutades numbri sissepositsiooniline numbrisüsteem .

! Vana-Kreekas ei tuntud numbrit 0. Claudius Ptolemaiose astronoomilistes tabelites märgiti tühjad lahtrid
sümbol ο (täht omikron, vanakreeka keelest ονδεν - ei midagi);

Võimalik, et see tähistus mõjutas nulli ilmumist, kuid enamik ajaloolasi tunnistab, et kümnendnulli leiutasid India matemaatikud. Ilma nullita oleks Indias avastatud arvude kümnendkohaline märkimine olnud võimatu.

! ! Esimene nullkood leiti India rekordist aastast 876; Gwaliorist (India) pärit seinasildis on number 270. See näeb välja nagu tuttav ring.

! Euroopas peeti nulli pikka aega tavapäraseks sümboliks ja seda ei tunnustatud numbrina; isegi 17. sajandil kirjutas Wallis: "Null ei ole arv."

! Aritmeetikatöödes tõlgendati negatiivset arvu võlana ja nulli täieliku hävingu olukorrana. Tema õiguste täielik võrdsustamine teiste numbritega
Eriti aitasid kaasa Leonhard Euleri tööd.

Venemaal.

L. Magnitski nimetab oma “Aritmeetikas” märki 0 “arvuks või mitte midagi” (teksti esimene lehekülg); tabeli teisel lehel, kus igale numbrile on antud nimi, nimetatakse 0 " mitte kunagi ". 18. sajandi lõpus, H. Wolfi "Lühendatud esimesed matemaatika alused" (1791) teises venekeelses väljaandes, nimetatakse nulliks ka number. 17. sajandi matemaatilistes käsikirjades, milles kasutati India numbreid, nimetatakse 0-ks " onom " selle sarnasuse tõttu kirjaga O .

Teistes kultuurides null

maiad. Maiad kasutasid nulli oma baas-20 numbrisüsteemis peaaegu aastatuhandet enne indiaanlasi. Esimene säilinud maiade kalendrikuupäeva stela pärineb 10. detsembrist 36 eKr. On uudishimulik, et maiade matemaatikud kasutasid lõpmatuse tähistamiseks sama märki, kuna see märk ei tähendanud sõna eurooplaste arusaamas nulli, vaid "algust", "põhjust". Päevade lugemine maiade kalendris algas päevaga null, mida kutsuti Ahauks.

Inkad. Tahuantinsuyu inkade impeerium kasutas numbrilise teabe salvestamiseks sõlmede quipu süsteemi, mis põhines positsioonilisel kümnendarvude süsteemil. Numbrid 1 kuni 9 tähistati teatud tüüpi sõlmedega, null - soovitud asendis sõlme vahelejätmisega. Mis sõna inkad quiput lugedes nulli tähistasid, on aga ebaselge (tänapäevases ketšua keeles tähendab null sõna "puudu", "tühi".