यहां तक ​​कि कुछ हज़ार साल पहले भी, माप की आवश्यकता के कारण प्राकृतिक संख्याओं के सेट का विस्तार हुआ जो तब तक लोग उपयोग करते थे। नई, भिन्नात्मक संख्याएँ पेश की गईं, जिनकी मदद से उपकरणों द्वारा अनुमत सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ माप (लंबाई, क्षेत्र, वजन, आदि) करना संभव हो गया।

ऋणात्मक संख्याओं के मामले में ऐसा नहीं था। लोगों की व्यावहारिक गतिविधियों में नकारात्मक संख्याओं को शामिल करने की कोई आवश्यकता नहीं थी, और वे गणित में मजबूती से स्थापित हो गए और केवल 17 वीं शताब्दी में इसका उपयोग किया गया।

लेकिन गणित में ही, नई, नकारात्मक संख्याओं को शामिल करके संख्यात्मक सेट का विस्तार करने की आवश्यकता लंबे समय से महसूस की गई है, और जैसे-जैसे गणितीय विज्ञान विकसित हुआ, यह आवश्यकता और अधिक जरूरी हो गई।

इसलिए, तीसरी शताब्दी में, यूनानी गणितज्ञ डायोफैंटस, उदाहरण के लिए, कुछ परिवर्तन करते समय

वास्तव में, उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए पहले से ही नियम का उपयोग किया था, जिसे उन्होंने इस प्रकार व्यक्त किया था: “जो घटाया जाता है, जो जोड़ा जाता है उससे गुणा किया जाता है, जो निकाला जाता है उसका परिणाम मिलता है। जो छीना जाता है, जो हटाया जाता है उससे गुणा करके, जो जोड़ा जाता है उसका परिणाम होता है।”

इस सूत्रीकरण से यह स्पष्ट है कि डायोफैंटस ने अभी तक ऋणात्मक संख्याओं के स्वतंत्र अस्तित्व को नहीं पहचाना है; उसके लिए वे वही संख्याएँ थीं, जो किसी अन्य संख्या से "घटाई गई" थीं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि किसी समीकरण को हल करते समय, एक नकारात्मक मूल प्राप्त किया गया था, तो डायोफैंटस ने इसे "अस्वीकार्य" के रूप में खारिज कर दिया।

लेकिन पहले से ही भारतीय वैज्ञानिक ब्रहमगुप्त (7वीं शताब्दी) ने अपनी गणनाओं में नकारात्मक संख्याओं का स्वतंत्र रूप से उपयोग किया और उन्हें एक दृश्य व्याख्या दी। उन्होंने संपत्ति को सकारात्मक संख्याओं से और ऋण को नकारात्मक संख्याओं से दर्शाया।

इस दृश्य रूप में उन्होंने तर्कसंगतता के साथ कार्यों के नियम भी दिये। संख्याएँ, उदाहरण के लिए: “दो संपत्तियों का योग संपत्ति है। दो ऋणों का योग एक ऋण है। संपत्ति और ऋण का योग उनके अंतर के बराबर है, और यदि वे बराबर हैं, तो शून्य,'' आदि।

भारतीय गणितज्ञ भास्कर (12वीं शताब्दी) एक ऋणात्मक संख्या की शक्ति का उपयोग करते हैं। उनका निबंध "द क्राउन ऑफ़ द सिस्टम" कहता है:

“धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं का वर्ग एक धनात्मक संख्या देता है, उदाहरण के लिए:

यूरोप में, 16वीं शताब्दी के गणितज्ञ, हालांकि कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करते थे, फिर भी उन्हें जटिल" और "अस्पष्ट", "कुछ नहीं से भी कम", आदि कहते थे।

केवल डच गणितज्ञ गिरार्ड (XVI-XVII सदियों) सकारात्मक संख्याओं के साथ समान आधार पर नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करते हैं। तो, समीकरण को हल करना

वह इसकी तीन जड़ें देता है:

17वीं शताब्दी में प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के तेजी से विकास ने गणित पर मांग बढ़ा दी, जिससे इसके और विकास और गणितीय तंत्र में सुधार की आवश्यकता हुई। ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग न करने से गणितीय गणनाओं और परिवर्तनों में अनावश्यक कठिनाइयाँ पैदा हुईं। 17वीं शताब्दी के बाद से, नकारात्मक संख्याएं गणित में मजबूती से स्थापित हो गई हैं और उन्हें व्यावहारिक अनुप्रयोग मिला है। फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ डेसकार्टेस संख्या अक्ष पर बिंदुओं का उपयोग करके संख्याओं की एक दृश्य व्याख्या देते हैं। वह विभिन्न प्रक्रियाओं और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को ग्राफ़िक रूप से दर्शाने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करता है।

मनुष्य ने किसी तरह गिनती और माप के परिणामों को अपने और दूसरों के लिए इंगित करने के लिए संख्या का आविष्कार किया। जाहिर है, लोगों के बीच संख्या की पहली अवधारणा पुरापाषाण युग में दिखाई दी, लेकिन नवपाषाण काल ​​​​में पहले से ही विकसित हुई। संख्याओं के उद्भव में पहला कदम, जाहिरा तौर पर, माप को "एक" और "अनेक" में विभाजित करने के बारे में जागरूकता था।

प्राचीन विश्व में, संख्याओं को इंगित करने के लिए पहली बार विशेष संकेतों का उपयोग किया जाने लगा: उनकी छवियों को मेसोपोटामिया की मिट्टी की पट्टियों, मिस्र के पपीरी आदि पर संरक्षित किया गया था।

गणित का और विकास हुआ। और विभिन्न देशों में उनकी अपनी विशेष, प्रामाणिक और उल्लेखनीय रूप से भिन्न संख्या प्रणालियाँ बनने लगीं। यहाँ तक कि अब एक स्कूली बच्चा भी जानता है कि अंकों की रोमन और अरबी लिखावट किस प्रकार भिन्न थी। संख्याओं को एक महत्वपूर्ण और मूल्यवान आविष्कार और विरासत के रूप में एक देश से दूसरे देश, संस्कृति से संस्कृति तक हस्तांतरित किया गया है। आधुनिक संख्याएँ, जिन पर स्लाव और पश्चिमी दोनों सभ्यताएँ बनी हैं, अरबी संख्याएँ हैं, लेकिन भारत से उधार ली गई हैं। कई संख्याएँ जो अब सभी से परिचित हैं, उनका आविष्कार भारत में हुआ था, उदाहरण के लिए, संख्या "0"।

संख्याओं का सकारात्मक और नकारात्मक में विभाजन मध्य युग के गणितज्ञों के विकास से शुरू होता है। फिर, ऋणात्मक संख्याओं का प्रयोग सबसे पहले भारत में हुआ। इससे व्यापारियों के लिए घाटे और कर्ज की गणना करना आसान हो गया। उस समय, अंकगणित पहले से ही एक अत्यधिक विकसित व्यावहारिक क्षेत्र था, और बीजगणित का विकास शुरू हो रहा था। कार्टेशियन ज्यामिति की शुरूआत के साथ, उनकी समन्वय प्रणाली, नकारात्मक संख्याएं मजबूती से उपयोग में आईं। वे आज तक यहां से नहीं गये.

जटिल संख्याएँ एक आधुनिक अवधारणा हैं, ऐसी संख्याओं को "काल्पनिक संख्याएँ" भी कहा जाता है और ये घन और द्विघात समीकरणों के औपचारिक समाधान से प्राप्त होती हैं। उनके "पिता" मध्यकालीन गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो थे। डेसकार्टेस के समय में, नकारात्मक संख्याओं की तरह, जटिल संख्याएँ गणितीय उपयोग में मजबूती से स्थापित हो गईं।

संख्या, गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक; प्राचीन काल में उत्पन्न हुआ और धीरे-धीरे विस्तारित और सामान्यीकृत हुआ। व्यक्तिगत वस्तुओं की गिनती के संबंध में, सकारात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक) संख्याओं की अवधारणा उत्पन्न हुई, और फिर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला की असीमितता का विचार: 1, 2, 3, 4। लंबाई मापने की समस्याएं , क्षेत्रों, आदि के साथ-साथ नामित मात्राओं के शेयरों को अलग करने से एक तर्कसंगत (आंशिक) संख्या की अवधारणा का जन्म हुआ। ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा भारतीयों के बीच 6ठी-11वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई।

पहली बार नकारात्मक संख्याएँ प्राचीन चीनी ग्रंथ "नौ अध्यायों में गणित" (जनवरी कैन - पहली शताब्दी ईसा पूर्व) की पुस्तकों में से एक में पाई जाती हैं। एक ऋणात्मक संख्या को ऋण के रूप में और एक सकारात्मक संख्या को संपत्ति के रूप में समझा जाता था। ऋणात्मक संख्याओं का जोड़ और घटाव ऋण के बारे में तर्क के आधार पर किया गया था। उदाहरण के लिए, अतिरिक्त नियम इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि आप एक ऋण में दूसरा ऋण जोड़ते हैं, तो परिणाम ऋण होगा, संपत्ति नहीं।" तब कोई ऋण चिन्ह नहीं था और धनात्मक तथा ऋणात्मक संख्याओं के बीच अंतर करने के लिए कैन कैन ने उन्हें विभिन्न रंगों की स्याही से लिखा।

ऋणात्मक संख्याओं के विचार को गणित में स्थान पाने में कठिनाई हुई। प्राचीन काल के गणितज्ञों के लिए ये संख्याएँ समझ से बाहर थीं और यहाँ तक कि झूठी भी थीं, और उनके साथ की गई गतिविधियाँ अस्पष्ट थीं और उनका कोई वास्तविक अर्थ नहीं था।

भारतीय गणितज्ञों द्वारा ऋणात्मक संख्याओं का प्रयोग।

छठी और सातवीं शताब्दी ईस्वी में, भारतीय गणितज्ञ पहले से ही व्यवस्थित रूप से नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करते थे, फिर भी उन्हें एक कर्तव्य के रूप में समझते थे। 7वीं शताब्दी से, भारतीय गणितज्ञों ने ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग किया है। उन्होंने सकारात्मक संख्याओं को "धन" या "स्व" ("संपत्ति"), और नकारात्मक संख्याओं को "ऋण" या "क्षय" ("ऋण") कहा। पहली बार, ऋणात्मक संख्याओं के साथ सभी चार अंकगणितीय ऑपरेशन भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री ब्रह्मगुप्त (598 - 660) द्वारा दिए गए थे।

उदाहरण के लिए, उन्होंने विभाजन नियम को इस प्रकार तैयार किया: “एक सकारात्मक को एक सकारात्मक से विभाजित किया जाता है, या एक नकारात्मक को एक नकारात्मक से विभाजित किया जाता है जो सकारात्मक हो जाता है। लेकिन सकारात्मक को नकारात्मक से विभाजित करने पर, और नकारात्मक को सकारात्मक से विभाजित करने पर, नकारात्मक ही रहता है।"

(ब्रह्मगुप्त (598 - 660) एक भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री हैं। ब्रह्मगुप्त का काम "ब्रह्म प्रणाली का संशोधन" (628) हमारे पास आया है, जिसका एक महत्वपूर्ण हिस्सा अंकगणित और बीजगणित के लिए समर्पित है। यहां सबसे महत्वपूर्ण है अंकगणितीय प्रगति का सिद्धांत और द्विघात समीकरणों का समाधान, जिसे ब्रह्मगुप्त ने उन सभी मामलों में निपटाया जहां उनके पास वास्तविक समाधान थे। ब्रह्मगुप्त ने स्वीकार किया और सभी अंकगणितीय परिचालनों में शून्य के उपयोग पर विचार किया। इसके अलावा, ब्रह्मगुप्त ने पूर्णांकों में कुछ अनिश्चित समीकरणों को हल किया; उन्होंने दिया तर्कसंगत भुजाओं आदि के साथ समकोण त्रिभुज बनाने का नियम। ब्रह्मगुप्त व्युत्क्रम त्रिक नियम ज्ञात है, इसमें सन्निकटन पी शामिल है, जो दूसरे क्रम का सबसे प्रारंभिक प्रक्षेप सूत्र है। समान अंतराल पर ज्या और व्युत्क्रम ज्या के लिए उनका प्रक्षेप नियम एक विशेष है न्यूटन-स्टर्लिंग इंटरपोलेशन फॉर्मूला का मामला। बाद के काम में, ब्रह्मगुप्त असमान अंतराल के लिए एक इंटरपोलेशन नियम देता है। उनकी रचनाओं का 8वीं शताब्दी में अरबी में अनुवाद किया गया था।)

पीसा के लियोनार्ड फाइबोनैचि द्वारा ऋणात्मक संख्याओं को समझना।

भारतीयों से स्वतंत्र होकर, पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची (13वीं शताब्दी) ने नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक संख्याओं के विपरीत समझा। लेकिन "बेतुके" (अर्थहीन) नकारात्मक संख्याओं को गणितज्ञों के बीच पूर्ण मान्यता मिलने में लगभग 400 साल और लग गए, और समस्याओं के नकारात्मक समाधानों को अब असंभव के रूप में खारिज नहीं किया गया।

(पीसा के लियोनार्डो फाइबोनैचि (लगभग 1170 - 1228 के बाद) - इतालवी गणितज्ञ। पीसा (इटली) में जन्मे। उन्होंने अपनी प्राथमिक शिक्षा बुश (अल्जीरिया) में एक स्थानीय शिक्षक के मार्गदर्शन में प्राप्त की। यहां उन्होंने अंकगणित और बीजगणित में महारत हासिल की) अरब। यूरोप और पूर्व के कई देशों का दौरा किया और हर जगह मैंने गणित के बारे में अपना ज्ञान बढ़ाया।

उन्होंने दो पुस्तकें प्रकाशित कीं: "द बुक ऑफ अबेकस" (1202), जहां अबेकस को एक उपकरण के रूप में नहीं, बल्कि सामान्य रूप से कैलकुलस के रूप में माना जाता था, और "प्रैक्टिकल ज्योमेट्री" (1220)। पहली पुस्तक के आधार पर, यूरोपीय गणितज्ञों की कई पीढ़ियों ने भारतीय स्थितीय संख्या प्रणाली का अध्ययन किया। इसमें सामग्री की प्रस्तुति मौलिक एवं सुरुचिपूर्ण थी। वैज्ञानिक ने अपनी खोज भी की, विशेष रूप से, उन्होंने टी.एन. फाइबोनैचि संख्याओं से संबंधित मुद्दों के विकास की शुरुआत की, और घनमूल निकालने के लिए एक मूल विधि दी। उनकी रचनाएँ 15वीं शताब्दी के अंत में व्यापक हो गईं, जब लुका पैसिओली ने उन्हें संशोधित किया और उन्हें अपनी पुस्तक सुम्मा में प्रकाशित किया।

मिखाइल स्टिफ़ेल द्वारा ऋणात्मक संख्याओं पर एक नए तरीके से विचार।

1544 में, जर्मन गणितज्ञ माइकल स्टिफ़ेल ने पहली बार ऋणात्मक संख्याओं को शून्य से कम (अर्थात "कुछ नहीं से भी कम") संख्याएँ माना। इस बिंदु से, नकारात्मक संख्याओं को अब ऋण के रूप में नहीं, बल्कि पूरी तरह से नए तरीके से देखा जाता है। (मिखाइल स्टिफ़ेल (19.04.1487 - 19.06.1567) - प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ। माइकल स्टिफ़ेल ने एक कैथोलिक मठ में अध्ययन किया, फिर लूथर के विचारों में रुचि हो गई और एक ग्रामीण प्रोटेस्टेंट पादरी बन गए। बाइबिल का अध्ययन करते हुए, उन्होंने एक खोजने की कोशिश की इसमें गणितीय व्याख्या। परिणामस्वरूप उनके शोध ने 19 अक्टूबर, 1533 को दुनिया के अंत की भविष्यवाणी की, जो निश्चित रूप से नहीं हुआ, और माइकल स्टिफ़ेल को वुर्टेमबर्ग जेल में कैद कर दिया गया, जहां से लूथर ने खुद उन्हें बचाया था।

इसके बाद, स्टिफ़ेल ने अपना काम पूरी तरह से गणित को समर्पित कर दिया, जिसमें वे स्वयं-सिखाए गए प्रतिभाशाली व्यक्ति थे। एन शुक के बाद यूरोप में सबसे पहले नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करना शुरू किया गया; भिन्नात्मक और शून्य घातांक, साथ ही "घातांक" शब्द का परिचय दिया; कार्य "संपूर्ण अंकगणित" (1544) में उन्होंने भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करने के रूप में भिन्न से भाग देने का नियम दिया; बड़ी संख्याओं के साथ गणना को सरल बनाने वाली तकनीकों के विकास में पहला कदम उठाया, जिसके लिए उन्होंने दो प्रगतियों की तुलना की: ज्यामितीय और अंकगणित। बाद में इससे आई. बर्गी और जे. नेपियर को लॉगरिदमिक तालिकाएँ बनाने और लॉगरिदमिक गणनाएँ विकसित करने में मदद मिली।)

गिरार्ड और रेने डेसकार्टेस द्वारा ऋणात्मक संख्याओं की आधुनिक व्याख्या।

नकारात्मक संख्याओं की आधुनिक व्याख्या, शून्य के बाईं ओर संख्या रेखा पर इकाई खंडों को आलेखित करने पर आधारित, 17वीं शताब्दी में दी गई थी, मुख्य रूप से डच गणितज्ञ गिरार्ड (1595-1634) और प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ और दार्शनिक के कार्यों में रेने डेसकार्टेस (1596-1650)। बीजगणित के विकास के लिए। उनका मुख्य कार्य "बीजगणित में नई खोज" पुस्तक थी। पहली बार उन्होंने एक अज्ञात के साथ बीजगणितीय समीकरण में जड़ की उपस्थिति के बारे में बीजगणित के मौलिक प्रमेय को बताया। हालांकि एक कठोर प्रमाण पहले था गॉस द्वारा दिया गया। गिरार्ड एक गोलाकार त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए जिम्मेदार थे।) 1629 से नीदरलैंड में। उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव रखी, परिवर्तनीय मात्राओं और कार्यों की अवधारणाएँ दीं और कई बीजगणितीय नोटेशन पेश किए। उन्होंने संवेग संरक्षण का नियम प्रतिपादित किया तथा बल के आवेग की अवधारणा दी। एक सिद्धांत के लेखक जो पदार्थ के कणों की भंवर गति (डेसकार्टेस भंवर) द्वारा आकाशीय पिंडों के निर्माण और गति की व्याख्या करते हैं। रिफ्लेक्स (डेसकार्टेस आर्क) की अवधारणा का परिचय दिया। डेसकार्टेस के दर्शन का आधार आत्मा और शरीर, "सोच" और "विस्तारित" पदार्थ का द्वैतवाद है। उन्होंने पदार्थ की पहचान विस्तार (या स्थान) से की, और गति को पिंडों की गति तक सीमित कर दिया। डेसकार्टेस के अनुसार गति का सामान्य कारण ईश्वर है, जिसने पदार्थ, गति और विश्राम की रचना की। मनुष्य एक निर्जीव शारीरिक तंत्र और सोच और इच्छाशक्ति वाली आत्मा के बीच का संबंध है। डेसकार्टेस के अनुसार, सभी ज्ञान का बिना शर्त आधार, चेतना की तत्काल निश्चितता है ("मुझे लगता है, इसलिए मेरा अस्तित्व है")। ईश्वर के अस्तित्व को मानव सोच के वस्तुनिष्ठ महत्व का स्रोत माना गया। ज्ञान के सिद्धांत में, डेसकार्टेस बुद्धिवाद के संस्थापक और जन्मजात विचारों के सिद्धांत के समर्थक हैं। मुख्य कार्य: "ज्यामिति" (1637), "विधि पर प्रवचन"। "(1637), "दर्शनशास्त्र के सिद्धांत" (1644)।

डेसकार्टेस (डेसकार्टेस) रेने (लैटिनाइज्ड - कार्टेसियस; कार्टेसियस) (31 मार्च, 1596, ले, टौरेन, फ्रांस - 11 फरवरी, 1650, स्टॉकहोम), फ्रांसीसी दार्शनिक, गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और शरीर विज्ञानी, आधुनिक यूरोपीय तर्कवाद के संस्थापक और इनमें से एक नये युग के सबसे प्रभावशाली तत्वमीमांसक।

जीवन और लेखन

एक कुलीन परिवार में जन्मे डेसकार्टेस ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की। 1606 में, उनके पिता ने उन्हें ला फ़्लेश के जेसुइट कॉलेज में भेजा। उदाहरण के लिए, डेसकार्टेस के अच्छे स्वास्थ्य को ध्यान में रखते हुए, उन्हें इस शैक्षणिक संस्थान के सख्त शासन में कुछ रियायतें दी गईं। , को दूसरों की तुलना में देर से उठने की अनुमति दी गई। कॉलेज में बहुत सारा ज्ञान प्राप्त करने के बाद, डेसकार्टेस उसी समय शैक्षिक दर्शन के प्रति घृणा से भर गए, जिसे उन्होंने जीवन भर बरकरार रखा।

कॉलेज से स्नातक होने के बाद, डेसकार्टेस ने अपनी शिक्षा जारी रखी। 1616 में, पोइटियर्स विश्वविद्यालय में, उन्होंने कानून में स्नातक की डिग्री प्राप्त की। 1617 में, डेसकार्टेस सेना में भर्ती हुए और पूरे यूरोप में बड़े पैमाने पर यात्रा की।

वर्ष 1619 वैज्ञानिक रूप से डेसकार्टेस के लिए एक महत्वपूर्ण वर्ष साबित हुआ। इसी समय, जैसा कि उन्होंने स्वयं अपनी डायरी में लिखा था, एक नए "सबसे आश्चर्यजनक विज्ञान" की नींव उनके सामने प्रकट हुई थी। सबसे अधिक संभावना है, डेसकार्टेस के मन में एक सार्वभौमिक वैज्ञानिक पद्धति की खोज थी, जिसे बाद में उन्होंने विभिन्न विषयों में सफलतापूर्वक लागू किया।

1620 के दशक में, डेसकार्टेस की मुलाकात गणितज्ञ एम. मेर्सन से हुई, जिनके माध्यम से वह कई वर्षों तक पूरे यूरोपीय वैज्ञानिक समुदाय के साथ "संपर्क में रहे"।

1628 में, डेसकार्टेस 15 वर्षों से अधिक समय तक नीदरलैंड में बसे रहे, लेकिन किसी एक स्थान पर नहीं बसे, बल्कि लगभग दो दर्जन बार अपना निवास स्थान बदला।

1633 में, चर्च द्वारा गैलीलियो की निंदा के बारे में जानने के बाद, डेसकार्टेस ने अपने प्राकृतिक दार्शनिक कार्य "द वर्ल्ड" को प्रकाशित करने से इनकार कर दिया, जिसमें पदार्थ के यांत्रिक नियमों के अनुसार ब्रह्मांड की प्राकृतिक उत्पत्ति के विचारों को रेखांकित किया गया था।

1637 में, डेसकार्टेस का काम "डिस्कोर्स ऑन मेथड" फ्रेंच में प्रकाशित हुआ, जिसके साथ, जैसा कि कई लोग मानते हैं, आधुनिक यूरोपीय दर्शन की शुरुआत हुई।

1641 में, डेसकार्टेस का मुख्य दार्शनिक कार्य, "रिफ्लेक्शन्स ऑन फर्स्ट फिलॉसफी" (लैटिन में) प्रकाशित हुआ, और 1644 में, "प्रिंसिपल्स ऑफ फिलॉसफी", डेसकार्टेस द्वारा सबसे महत्वपूर्ण आध्यात्मिक और प्राकृतिक दार्शनिक सिद्धांतों को सारांशित करने वाले एक संग्रह के रूप में कल्पना की गई कृति थी। लेखक का.

1649 में प्रकाशित डेसकार्टेस की अंतिम दार्शनिक कृति, द पैशन ऑफ द सोल, का भी यूरोपीय विचारों पर काफी प्रभाव पड़ा। उसी वर्ष, स्वीडिश रानी क्रिस्टीना के निमंत्रण पर, डेसकार्टेस स्वीडन गए। कठोर जलवायु और असामान्य शासन (रानी ने डेसकार्टेस को अपनी शिक्षा देने और अन्य कार्य करने के लिए सुबह 5 बजे उठने के लिए मजबूर किया) ने डेसकार्टेस के स्वास्थ्य को कमजोर कर दिया और, ठंड लगने के कारण निमोनिया से उनकी मृत्यु हो गई।

डेसकार्टेस का दर्शन स्पष्ट रूप से यूरोपीय संस्कृति की खुद को पुराने हठधर्मिता से मुक्त करने और "शुरूआत से" एक नया विज्ञान और जीवन बनाने की इच्छा को दर्शाता है। डेसकार्टेस का मानना ​​है कि सत्य की कसौटी केवल हमारे मन की "प्राकृतिक रोशनी" हो सकती है। डेसकार्टेस अनुभव के संज्ञानात्मक मूल्य से इनकार नहीं करता है, लेकिन वह इसका कार्य पूरी तरह से तर्क की सहायता में देखता है जहां उत्तरार्द्ध की अपनी शक्तियां ज्ञान के लिए पर्याप्त नहीं हैं। विश्वसनीय ज्ञान प्राप्त करने की शर्तों पर विचार करते हुए, डेसकार्टेस ने "विधि के नियम" तैयार किए जिनकी मदद से कोई भी सत्य तक पहुंच सकता है। शुरू में डेसकार्टेस ने सोचा था कि वे बहुत अधिक संख्या में हैं, "डिस्कोर्स ऑन मेथड" में, उन्होंने उन्हें चार मुख्य प्रावधानों में घटा दिया है जो यूरोपीय तर्कवाद की "सर्वोत्कृष्टता" का गठन करते हैं: 1) निस्संदेह और स्व-स्पष्ट से शुरू करें, यानी जो नहीं कर सकता उससे शुरू करें इसके विपरीत सोचा जाए, 2) किसी भी समस्या को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए जितना आवश्यक हो उतने भागों में विभाजित करें, 3) सरल से शुरू करें और धीरे-धीरे जटिल की ओर बढ़ें, 4) निष्कर्षों की शुद्धता की लगातार जांच करें। आत्म-स्पष्ट को बौद्धिक अंतर्ज्ञान में मन द्वारा समझा जाता है, जिसे संवेदी अवलोकन के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है और जो हमें सत्य की "स्पष्ट और विशिष्ट" समझ देता है। किसी समस्या को भागों में विभाजित करने से उसमें "पूर्ण" तत्वों की पहचान करना संभव हो जाता है, अर्थात, स्व-स्पष्ट तत्व जिनसे बाद की कटौतियाँ आधारित हो सकती हैं। डेसकार्टेस कटौती को "विचार की गति" कहते हैं जिसमें सहज सत्य का सामंजस्य होता है। मानव बुद्धि की कमजोरी के लिए यह सुनिश्चित करने के लिए उठाए गए कदमों की शुद्धता की जांच करना आवश्यक है कि तर्क में कोई अंतराल न हो। डेसकार्टेस इस सत्यापन को "गणना" या "प्रेरण" कहते हैं। सुसंगत और व्यापक कटौती का परिणाम सार्वभौमिक ज्ञान, "सार्वभौमिक विज्ञान" की एक प्रणाली का निर्माण होना चाहिए। डेसकार्टेस इस विज्ञान की तुलना एक पेड़ से करते हैं। इसका मूल तत्वमीमांसा है, इसका तना भौतिकी है और इसकी फलदायी शाखाएँ ठोस विज्ञान, नीतिशास्त्र, चिकित्सा और यांत्रिकी से बनती हैं, जो प्रत्यक्ष लाभ पहुँचाती हैं। इस चित्र से यह स्पष्ट है कि इन सभी विज्ञानों की प्रभावशीलता की कुंजी सही तत्वमीमांसा है।

जो चीज़ डेसकार्टेस को सत्य की खोज की विधि से अलग करती है, वह पहले से विकसित सामग्री को प्रस्तुत करने की विधि है। इसे "विश्लेषणात्मक रूप से" और "कृत्रिम रूप से" प्रस्तुत किया जा सकता है। विश्लेषणात्मक विधि समस्याग्रस्त है, यह कम व्यवस्थित है लेकिन समझने के लिए अधिक अनुकूल है। सिंथेटिक, जैसे कि "ज्यामितीय" सामग्री, अधिक सख्त है। डेसकार्टेस अभी भी विश्लेषणात्मक पद्धति को प्राथमिकता देते हैं।

संदेह और निश्चितता

सबसे सामान्य प्रकार के अस्तित्व के बारे में एक विज्ञान के रूप में तत्वमीमांसा की प्रारंभिक समस्या, किसी भी अन्य अनुशासन की तरह, स्व-स्पष्ट नींव का प्रश्न है। तत्वमीमांसा की शुरुआत किसी अस्तित्व के निस्संदेह कथन से होनी चाहिए। डेसकार्टेस आत्म-प्रमाण के लिए दुनिया, ईश्वर और हमारे "मैं" के अस्तित्व के बारे में सिद्धांतों का "परीक्षण" करता है। यदि हम कल्पना करें कि हमारा जीवन एक लंबा सपना है तो दुनिया की अस्तित्वहीन कल्पना की जा सकती है। ईश्वर के अस्तित्व पर भी संदेह किया जा सकता है। लेकिन हमारे "मैं," डेसकार्टेस का मानना ​​है, उस पर सवाल नहीं उठाया जा सकता है, क्योंकि संदेह अपने अस्तित्व में ही संदेह के अस्तित्व को साबित करता है, और इसलिए संदेह करने वाले I का। "मुझे संदेह है, इसलिए मेरा अस्तित्व है" - इस तरह से डेसकार्टेस इस सबसे महत्वपूर्ण सत्य को तैयार करता है , नए समय के यूरोपीय दर्शन के व्यक्तिपरक मोड़ को दर्शाता है। अधिक सामान्य रूप में, यह थीसिस इस तरह लगती है: "मैं सोचता हूं, इसलिए मेरा अस्तित्व है" - कोगिटो, एर्गो योग। इच्छा, तर्कसंगत समझ, कल्पना, स्मृति और यहां तक ​​कि संवेदना के साथ-साथ संदेह भी "सोचने के तरीकों" में से एक है। चिन्तन का आधार चेतना है। इसलिए, डेसकार्टेस अचेतन विचारों के अस्तित्व से इनकार करते हैं। चिन्तन आत्मा का अभिन्न गुण है। आत्मा सोचने के अलावा कुछ नहीं कर सकती; यह एक "सोचने वाली चीज़" है। हालांकि, अपने स्वयं के अस्तित्व की थीसिस को निस्संदेह मानने का मतलब यह नहीं है कि डेसकार्टेस आत्मा की गैर-अस्तित्व को आम तौर पर असंभव मानते हैं: यह तब तक अस्तित्व में नहीं रह सकता जब तक वह सोचता है। अन्यथा आत्मा एक यादृच्छिक वस्तु है अर्थात् वह हो भी सकती है या नहीं भी हो सकती है, क्योंकि वह अपूर्ण है। सभी यादृच्छिक चीजें अपना अस्तित्व बाहर से प्राप्त करती हैं। डेसकार्टेस का कहना है कि ईश्वर द्वारा आत्मा को हर क्षण उसके अस्तित्व में बनाए रखा जाता है। फिर भी, इसे एक पदार्थ कहा जा सकता है, क्योंकि यह शरीर से अलग भी अस्तित्व में रह सकता है। हालाँकि, वास्तव में, आत्मा और शरीर निकट रूप से परस्पर क्रिया करते हैं। हालाँकि, शरीर से आत्मा की मौलिक स्वतंत्रता डेसकार्टेस के लिए आत्मा की संभावित अमरता की गारंटी है।

ईश्वर का सिद्धांत

दार्शनिक मनोविज्ञान से, डेसकार्टेस ईश्वर के सिद्धांत की ओर बढ़ते हैं। वह सर्वोच्च सत्ता के अस्तित्व के कई प्रमाण देता है। सबसे प्रसिद्ध तथाकथित "ऑन्टोलॉजिकल तर्क" है: ईश्वर एक सर्व-परिपूर्ण प्राणी है, इसलिए उसकी अवधारणा में बाहरी अस्तित्व के विधेय का अभाव नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि विरोधाभास में पड़े बिना ईश्वर के अस्तित्व को नकारना असंभव है। डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तुत एक और प्रमाण अधिक मौलिक है (पहला मध्ययुगीन दर्शन में अच्छी तरह से जाना जाता था): हमारे दिमाग में ईश्वर का एक विचार है, इस विचार का एक कारण होना चाहिए, लेकिन इसका कारण केवल ईश्वर ही हो सकता है, अन्यथा उच्च वास्तविकता का विचार इस तथ्य से उत्पन्न होगा कि इसमें यह वास्तविकता नहीं है, अर्थात, कारण की तुलना में कार्य में अधिक वास्तविकता होगी, जो बेतुका है। तीसरा तर्क मानव अस्तित्व को बनाए रखने के लिए ईश्वर के अस्तित्व की आवश्यकता पर आधारित है। डेसकार्टेस का मानना ​​​​था कि भगवान, हालांकि स्वयं मानव सत्य के नियमों से बंधे नहीं हैं, फिर भी मनुष्य के "सहज ज्ञान" का स्रोत है, जिसमें भगवान के विचार के साथ-साथ तार्किक और गणितीय सिद्धांत भी शामिल हैं। डेसकार्टेस का मानना ​​है कि बाहरी भौतिक संसार के अस्तित्व में हमारा विश्वास ईश्वर से आता है। ईश्वर धोखेबाज नहीं हो सकता, और इसलिए यह विश्वास सत्य है, और भौतिक संसार वास्तव में मौजूद है।

प्रकृति का दर्शन

भौतिक संसार के अस्तित्व के बारे में आश्वस्त होने के बाद, डेसकार्टेस ने इसके गुणों का अध्ययन करना शुरू किया। भौतिक वस्तुओं का मुख्य गुण विस्तार है, जो विभिन्न संशोधनों में प्रकट हो सकता है। डेसकार्टेस रिक्त स्थान के अस्तित्व को इस आधार पर नकारते हैं कि जहां भी विस्तार होता है, वहां एक "विस्तारित वस्तु" भी होती है। पदार्थ के अन्य गुण अस्पष्ट रूप से कल्पना किए गए हैं और, शायद, डेसकार्टेस का मानना ​​है, केवल धारणा में मौजूद हैं, और स्वयं वस्तुओं में अनुपस्थित हैं। पदार्थ में अग्नि, वायु और पृथ्वी तत्व शामिल हैं, केवल उनके आकार में अंतर है। तत्व अविभाज्य नहीं हैं और एक दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। शून्यता की अनुपस्थिति के बारे में थीसिस के साथ पदार्थ की विसंगति की अवधारणा को समेटने की कोशिश करते हुए, डेसकार्टेस ने अस्थिरता और पदार्थ के सबसे छोटे कणों में एक निश्चित रूप की अनुपस्थिति के बारे में एक बहुत ही दिलचस्प थीसिस सामने रखी। डेसकार्टेस टकराव को तत्वों और उनके मिश्रण से बनी चीजों के बीच बातचीत को व्यक्त करने का एकमात्र तरीका मानते हैं। यह ईश्वर के अपरिवर्तनीय सार से उत्पन्न स्थिरता के नियमों के अनुसार होता है। बाहरी प्रभावों के अभाव में वस्तुएँ अपनी स्थिति नहीं बदलती और एक सीधी रेखा में चलती हैं, जो स्थिरता का प्रतीक है। इसके अलावा, डेसकार्टेस दुनिया में मूल गति के संरक्षण की बात करते हैं। हालाँकि, गति स्वयं प्रारंभ में पदार्थ में अंतर्निहित नहीं है, बल्कि ईश्वर द्वारा इसमें पेश की गई है। लेकिन एक सही और सामंजस्यपूर्ण ब्रह्मांड को धीरे-धीरे पदार्थ की अराजकता से स्वतंत्र रूप से इकट्ठा करने के लिए बस एक प्रारंभिक धक्का पर्याप्त है।

शरीर और आत्मा

डेसकार्टेस ने पशु जीवों के कामकाज के नियमों का अध्ययन करने के लिए बहुत समय समर्पित किया। वह उन्हें पतली मशीनें मानते थे, जो स्वतंत्र रूप से पर्यावरण के अनुकूल ढलने और बाहरी प्रभावों का पर्याप्त रूप से जवाब देने में सक्षम थीं। अनुभव किया गया प्रभाव मस्तिष्क में संचारित होता है, जो "पशु आत्माओं", छोटे कणों का भंडार है, जिसका प्रवेश मस्तिष्क के "पीनियल ग्रंथि" (जो का स्थान है) के विचलन के कारण खुलने वाले छिद्रों के माध्यम से मांसपेशियों में होता है। आत्मा), इन मांसपेशियों के संकुचन की ओर ले जाती है। शरीर की गति ऐसे संकुचनों के क्रम से बनी होती है। जानवरों में आत्मा नहीं होती और उन्हें उनकी आवश्यकता नहीं होती। डेसकार्टेस ने कहा कि वह जानवरों में इसकी अनुपस्थिति की तुलना में मनुष्यों में आत्मा की उपस्थिति से अधिक आश्चर्यचकित थे। हालाँकि, किसी व्यक्ति में आत्मा की उपस्थिति बेकार नहीं है, क्योंकि आत्मा शरीर की प्राकृतिक प्रतिक्रियाओं को ठीक कर सकती है।

फिजियोलॉजिस्ट डेसकार्टेस

डेसकार्टेस ने जानवरों में विभिन्न अंगों की संरचना का अध्ययन किया और विकास के विभिन्न चरणों में भ्रूण की संरचना की जांच की। "स्वैच्छिक" और "अनैच्छिक" आंदोलनों के उनके सिद्धांत ने सजगता के आधुनिक सिद्धांत की नींव रखी। डेसकार्टेस के कार्यों ने रिफ्लेक्स आर्क के सेंट्रिपेटल और सेंट्रीफ्यूगल भागों के साथ रिफ्लेक्स प्रतिक्रियाओं की योजनाएं प्रस्तुत कीं।

गणित और भौतिकी में डेसकार्टेस के कार्यों का महत्व

डेसकार्टेस की प्राकृतिक वैज्ञानिक उपलब्धियाँ उनके द्वारा विकसित एकीकृत विज्ञान की एकीकृत पद्धति के "उप-उत्पाद" के रूप में पैदा हुईं। डेसकार्टेस को आधुनिक संकेतन प्रणाली बनाने का श्रेय दिया जाता है: उन्होंने परिवर्तनीय मात्राओं (x, y, z.), गुणांक (a, b, c.), और शक्तियों (a2, x-1.) के लिए संकेतन की शुरुआत की।

डेसकार्टेस समीकरणों के सिद्धांत के लेखकों में से एक हैं: उन्होंने सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों की संख्या निर्धारित करने के लिए संकेतों का नियम तैयार किया, वास्तविक जड़ों की सीमाओं का सवाल उठाया और न्यूनता की समस्या को सामने रखा, यानी प्रतिनिधित्व इस प्रकार के दो कार्यों के उत्पाद के रूप में तर्कसंगत गुणांक वाले संपूर्ण तर्कसंगत फ़ंक्शन का। उन्होंने बताया कि तीसरी डिग्री का समीकरण वर्ग मूलकों में हल करने योग्य है (और यदि समीकरण कम करने योग्य है तो कंपास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके समाधान का संकेत भी दिया है)।

डेसकार्टेस विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रचनाकारों में से एक हैं (जिसे उन्होंने पी. फ़र्मेट के साथ एक साथ विकसित किया था), जिसने समन्वय विधि का उपयोग करके इस विज्ञान को बीजगणित करना संभव बना दिया। उनके द्वारा प्रस्तावित समन्वय प्रणाली को उनका नाम मिला। अपने काम "ज्यामिति" (1637) में, जिसने बीजगणित और ज्यामिति के अंतर्संबंध को खोला, डेसकार्टेस ने पहली बार एक चर मात्रा और एक फ़ंक्शन की अवधारणाओं को पेश किया। वह एक चर की दो तरह से व्याख्या करता है: चर लंबाई और निरंतर दिशा के एक खंड के रूप में (एक बिंदु का वर्तमान समन्वय जो अपने आंदोलन के साथ वक्र का वर्णन करता है) और इस खंड को व्यक्त करने वाले संख्याओं के एक सेट के माध्यम से चलने वाले निरंतर संख्यात्मक चर के रूप में। ज्यामिति के अध्ययन के क्षेत्र में, डेसकार्टेस ने "ज्यामितीय" रेखाओं को शामिल किया (जिन्हें बाद में लीबनिज ने बीजगणितीय कहा) - गति में हिंग वाले तंत्र द्वारा वर्णित रेखाएं। उन्होंने अपनी ज्यामिति से पारलौकिक वक्रों (डेसकार्टेस स्वयं उन्हें "यांत्रिक" कहते हैं) को बाहर कर दिया। लेंस के अध्ययन के संबंध में (नीचे देखें), "ज्यामिति" समतल वक्रों के लिए सामान्य और स्पर्श रेखाएं बनाने की विधियां निर्धारित करता है।

गणित के विकास पर "ज्यामिति" का बहुत बड़ा प्रभाव था। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, नकारात्मक संख्याओं को वास्तविक व्याख्या प्राप्त हुई। डेसकार्टेस ने वास्तव में वास्तविक संख्याओं की व्याख्या किसी खंड और इकाई के अनुपात के रूप में की थी (हालाँकि इसका सूत्रीकरण बाद में आई. न्यूटन द्वारा दिया गया था)। डेसकार्टेस के पत्राचार में उनकी अन्य खोजें भी शामिल हैं।

प्रकाशिकी में, उन्होंने दो अलग-अलग माध्यमों की सीमा पर प्रकाश किरणों के अपवर्तन के नियम की खोज की (डायोप्ट्रिक्स, 1637 में निर्धारित)। डेसकार्टेस ने जड़त्व के नियम का स्पष्ट प्रतिपादन करके भौतिकी में एक बड़ा योगदान दिया।

डेसकार्टेस का प्रभाव

डेसकार्टेस का बाद के विज्ञान और दर्शन पर जबरदस्त प्रभाव था। यूरोपीय विचारकों ने एक सटीक विज्ञान (बी. स्पिनोज़ा) के रूप में दर्शनशास्त्र के निर्माण और आत्मा के सिद्धांत (जे. लोके, डी. ह्यूम) के आधार पर तत्वमीमांसा के निर्माण के लिए उनके आह्वान को अपनाया। डेसकार्टेस ने ईश्वर के अस्तित्व को साबित करने की संभावना पर धार्मिक बहस भी तेज कर दी। आत्मा और शरीर की परस्पर क्रिया के प्रश्न पर डेसकार्टेस की चर्चा, जिस पर एन. मालेब्रान्चे, जी. लीबनिज और अन्य लोगों ने प्रतिक्रिया व्यक्त की, साथ ही उनके ब्रह्मांड संबंधी निर्माणों की एक बड़ी प्रतिध्वनि थी। कई विचारकों ने डेसकार्टेस की कार्यप्रणाली को औपचारिक बनाने का प्रयास किया (ए. अर्नाल्ड, एन. निकोल, बी. पास्कल)। 20वीं शताब्दी में, मन के दर्शन और संज्ञानात्मक मनोविज्ञान की समस्याओं पर कई चर्चाओं में प्रतिभागियों द्वारा अक्सर डेसकार्टेस के दर्शन का उल्लेख किया जाता है।

इस दृष्टिकोण को विकसित करने के लिए, जो अब हमारे लिए समझने योग्य और स्वाभाविक है, इसमें कैन त्सांग से डेसकार्टेस तक अठारह शताब्दियों में कई वैज्ञानिकों के प्रयास लगे।

संख्याओं के उद्भव के इतिहास के लिए समर्पित साहित्य में, यह ध्यान दिया जाता है कि वस्तुओं की गिनती करते समय प्राकृतिक संख्याएँ उत्पन्न हुईं। मानव को मात्राओं को मापने की आवश्यकता है और तथ्य यह है कि माप का परिणाम हमेशा पूर्णांक के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है, जिससे प्राकृतिक संख्याओं के सेट का विस्तार हुआ। शून्य और भिन्नात्मक संख्याएँ पेश की गईं।

संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास की प्रक्रिया यहीं समाप्त नहीं हुई। हालाँकि, संख्या की अवधारणा के विस्तार के लिए पहली प्रेरणा हमेशा लोगों की विशुद्ध रूप से व्यावहारिक ज़रूरतें नहीं थीं। ऐसा भी हुआ कि गणित की समस्याओं के लिए ही संख्या की अवधारणा का विस्तार करना आवश्यक हो गया। ऋणात्मक संख्याओं के उद्भव के साथ बिल्कुल यही हुआ। ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के अभ्यास में उत्पन्न हुई।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को भिन्नों में विस्तारित करने के बाद, किसी भी पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक से विभाजित करना संभव हो गया (शून्य से विभाजन के अपवाद के साथ)। लंबे समय तक, एक पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक से घटाना, जब घटाया जा रहा एक पूर्णांक से बड़ा हो, असंभव लगता था। हालाँकि, समीकरणों को हल करते समय, अक्सर छोटी संख्या में से बड़ी संख्या को घटाना आवश्यक होता था और इस प्रकार एक नकारात्मक संख्या की अवधारणा का सामना करना पड़ता था।

न केवल मिस्रवासी और बेबीलोनवासी, बल्कि प्राचीन यूनानी भी ऋणात्मक संख्याएँ नहीं जानते थे। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय ऋणात्मक संख्या की अवधारणा प्रकट होती है। गणना करने के लिए उस समय के गणितज्ञ एक गिनती बोर्ड का उपयोग करते थे, जिस पर गिनती की छड़ियों का उपयोग करके संख्याओं को दर्शाया जाता था। चूँकि उस समय कोई "+" और "-" चिन्ह नहीं थे, सकारात्मक संख्याओं को लाल छड़ियों से और नकारात्मक संख्याओं को काली छड़ियों से दर्शाया जाता था। लंबे समय तक, नकारात्मक संख्याओं को ऐसे शब्द कहा जाता था जिनका अर्थ "ऋण", "कमी" होता था। सातवीं सदी में भी. भारत में, सकारात्मक संख्याओं की व्याख्या संपत्ति के रूप में की जाती थी, और नकारात्मक संख्याओं की व्याख्या ऋण के रूप में की जाती थी। भारतीय वैज्ञानिक, जीवन में छोटी मात्रा से बड़ी मात्रा में घटाने के उदाहरण खोजने की कोशिश करते हुए, व्यापार गणना के दृष्टिकोण से इसकी व्याख्या करने लगे। “यदि किसी व्यापारी के पास 5000 मौद्रिक इकाइयाँ हैं और वह 3000 मौद्रिक इकाइयों के लिए सामान खरीदता है, तो उसके पास 5000-3000 = 2000 धन बचता है। यदि उसके पास 3000 हैं, लेकिन 5000 का सामान खरीदता है, तो वह 2000 के कर्ज में डूबा रहता है। इसके अनुसार, यह माना जाता था कि यहां 3000-5000 का घटाव किया जाता है, परिणाम 2000 की संख्या है (2000 पर एक बिंदु के साथ) शीर्ष), जिसका अर्थ है "दो हजार ऋण।" प्राचीन चीन में, केवल धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के नियम ज्ञात थे; गुणा और भाग के नियम लागू नहीं होते थे।

तीसरी शताब्दी में वापस। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ डायोफैंटस ने वास्तव में पहले से ही ऐसे परिवर्तनों में नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम का उपयोग किया था:

हालाँकि, डायोफैंटस के लिए, यह एक स्वतंत्र नकारात्मक संख्या नहीं है, बल्कि केवल एक "घटाने योग्य" है, जबकि कोई भी सकारात्मक संख्या एक "जोड़ा" है। वह गुणन के नियम को इस प्रकार व्यक्त करता है: “घटाया गया, जोड़ा गया गुणा, घटाव का परिणाम देता है; जो घटाया गया है उसमें से जो घटाया गया है वही जोड़ा गया है।” डायोफैंटस व्यक्तिगत नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचानता था, और यदि, समीकरण को हल करते समय, एक नकारात्मक मूल प्राप्त होता था, तो उसने इसे "अस्वीकार्य" के रूप में त्याग दिया। डायोफैंटस ने नकारात्मक जड़ों से बचने के लिए समस्याओं को तैयार करने और समीकरण बनाने की कोशिश की।

भारतीय गणितज्ञों का ऋणात्मक संख्याओं के प्रति बिल्कुल अलग दृष्टिकोण था। उन्होंने समीकरण की नकारात्मक जड़ों के अस्तित्व को पहचाना, सकारात्मक संख्याओं को संपत्ति का प्रतिनिधित्व करने के रूप में और नकारात्मक संख्याओं को ऋण के रूप में व्याख्या की, उन पर चार कार्यों के सभी नियमों को लागू किया, लेकिन उचित सैद्धांतिक औचित्य के बिना।

यहां 7वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा उल्लिखित जोड़ और घटाव के कुछ नियम दिए गए हैं। एन। इ। :

तालिका 1.1

भारतीय गणितज्ञ भास्कर (12वीं शताब्दी) ने गुणन और विभाजन के नियमों को इस प्रकार व्यक्त किया: “दो संपत्ति या दो ऋणों का गुणनफल संपत्ति है; संपत्ति और ऋण का उत्पाद हानि है। यही नियम विभाजन पर भी लागू होता है।”

हालाँकि, समीकरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने में नकारात्मक संख्याओं के व्यापक उपयोग के बावजूद, भारत में उन्होंने नकारात्मक संख्याओं को कुछ हद तक अविश्वास के साथ माना, उन्हें अजीब माना, पूरी तरह से वास्तविक नहीं। भास्कर ने सीधे लिखा: "लोग अमूर्त नकारात्मक संख्याओं को स्वीकार नहीं करते..."।

यूरोपीय गणितज्ञों ने लंबे समय तक उन्हें स्वीकार नहीं किया, क्योंकि "संपत्ति - ऋण" की व्याख्या ने घबराहट और संदेह पैदा किया। वास्तव में, कोई संपत्ति और ऋण को "जोड़" या "घटा" सकता है, लेकिन ऋण द्वारा संपत्ति को "गुणा" या "विभाजित" करने का वास्तविक अर्थ क्या हो सकता है?

इसीलिए बड़ी कठिनाई से ऋणात्मक संख्याओं को गणित में स्थान मिला।

यूरोप में, नकारात्मक संख्याओं का उल्लेख लियोनार्डो फाइबोनैचि (XII-XIII सदियों) द्वारा पहले ही किया जा चुका था। नकारात्मक संख्याओं का कुछ उपयोग होता है और 14वीं-16वीं शताब्दी के अन्य यूरोपीय वैज्ञानिकों द्वारा उनकी व्याख्या "ऋण" के रूप में की जाती है; हालाँकि, अधिकांश वैज्ञानिक नई संख्याओं को "सही" सकारात्मक संख्याओं के विपरीत "गलत" संख्याएँ कहते हैं।

जर्मन गणितज्ञ माइकल स्टिफ़ेल द्वारा 1544 में ऋणात्मक संख्याओं की एक नई परिभाषा "कुछ भी नहीं से भी कम" संख्या के रूप में देने के बाद इस रवैये में थोड़ा बदलाव आया। शून्य से भी कम. यद्यपि यह दृष्टिकोण नकारात्मक संख्याओं के सैद्धांतिक औचित्य में एक कदम आगे का प्रतिनिधित्व करता है, नई संख्याओं की प्रकृति के बारे में सामान्य भ्रम दूर नहीं हुआ। लंबे समय तक लोग इस विचार के अभ्यस्त नहीं हो सके कि "कुछ नहीं से भी कम..." का कोई मूल्य होता है। स्टिफ़ेल ने स्वयं लिखा है: "शून्य सच्ची और बेतुकी संख्याओं के बीच है..."। वालिस ने सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को उन संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जो एक दूसरे के विपरीत हैं (लाभ और हानि)। हालाँकि, एक मामले में, वालिस ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए असमानता से यह निष्कर्ष निकाला

अर्थात् ऋणात्मक संख्याएँ अनंत से बड़ी होती हैं। यूलर ने बाद में वही दृष्टिकोण व्यक्त किया।

17वीं सदी में गणित, यांत्रिकी और खगोल विज्ञान का व्यापक विकास हुआ। नकारात्मक संख्याएँ, जिनके उपयोग से गणितीय गणनाएँ बहुत आसान हो गई हैं, गणित में अधिकाधिक मजबूती से स्थापित होती जा रही हैं। 17वीं सदी के 20 के दशक में। स्टीवन के छात्र, फ्लेमिश गणितज्ञ ए. गिरार्ड, समीकरणों को हल करते समय, व्यवस्थित रूप से नकारात्मक जड़ों को ध्यान में रखते हैं और सकारात्मक संख्याओं के साथ समान आधार पर नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करते हैं।

1637 में प्रकाशित फ्रांसीसी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और दार्शनिक डेसकार्टेस की प्रसिद्ध कृति "ज्यामिति", सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या का वर्णन करती है; सकारात्मक संख्याओं को संख्या अक्ष पर आरंभिक 0 के दाईं ओर स्थित बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, नकारात्मक संख्याओं को बाईं ओर दर्शाया जाता है।

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या से नकारात्मक संख्याओं की प्रकृति की स्पष्ट समझ पैदा हुई और उनकी पहचान में योगदान मिला। समीकरणों की सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों को विपरीत रूप से निर्देशित खंडों के रूप में प्रस्तुत करके, डेसकार्टेस का मानना ​​​​था कि इन जड़ों के समान अधिकार थे, समान रूप से वास्तविक थे, हालांकि उन्होंने परंपरा के अनुसार, कुछ को सच और दूसरों को गलत कहना जारी रखा।

हालाँकि, ऋणात्मक संख्याओं से गुणा और भाग के नियम अभी भी अनुचित थे। इसलिए, 18वीं शताब्दी में भी। अभी तक यह स्पष्ट समझ हासिल नहीं हुई थी कि नकारात्मक संख्याएँ संख्या प्रणाली के प्राकृतिक विस्तार का प्रतिनिधित्व करती हैं, और वैज्ञानिकों के बीच इस बारे में बहस जारी है कि क्या नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक संख्याओं की तरह वास्तव में स्वतंत्र रूप से विद्यमान माना जा सकता है। इस तरह की मान्यता का बचाव, विशेष रूप से, न्यूटन, यूलर और उस समय के लगभग सभी रूसी गणितज्ञों द्वारा किया गया था। नकारात्मक संख्याओं को सामान्य मान्यता 19वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में मिली, जब सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांकों का एक काफी कठोर सिद्धांत विकसित किया गया था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इतिहास में नकारात्मक संख्याओं का मार्ग कांटेदार निकला: "गलत" और "बेतुका" से - इस मान्यता तक कि वे सकारात्मक संख्याओं की तरह स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं।

प्राचीन काल और मध्य युग में गणितज्ञों के सामने मुख्य समस्या ऋणात्मक संख्याओं के संचालन के नियमों, विशेषकर गुणा और भाग के नियमों का औचित्य थी।

ऋणात्मक संख्याएँ अंततः आर. डेसकार्टेस (17वीं शताब्दी) के समय से ही उपयोग में आईं, जिन्होंने निर्देशित खंडों के रूप में ऋणात्मक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या दी।

नकारात्मक संख्याएँ

ऋणात्मक संख्याओं का इतिहासचीन और भारत में 7वीं शताब्दी में शुरू होता है। तभी उन्हें ऋणात्मक संख्याएँ नहीं कहा जाता था, बल्कि वे "ऋण" या "कमी" कहलाती थीं।

उस समय पहले से ही भारत के एक गणितज्ञ ने उन्हें सकारात्मक लोगों के बराबर माना था। यह समझ धीरे-धीरे आई कि ऋणात्मक संख्याएँ आवश्यक और उपयोगी हैं।

! यूरोप में, पीसा के लियोनार्ड 1202 में अपनी पुस्तक अबेकस में नकारात्मक संख्याओं के बारे में लिखने वाले पहले व्यक्ति थे। प्रारंभ में इनकी व्याख्या ऋण के रूप में भी की जाती थी। लेकिन इसके बावजूद भी 17वीं शताब्दी में पास्कल जैसे प्रसिद्ध वैज्ञानिक का मानना ​​था कि यदि आप शून्य में से कोई भी धनात्मक संख्या घटा दें तो परिणाम शून्य होगा।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आगमन के साथ नकारात्मक संख्याओं के उद्भव का इतिहास विकसित हुआ। अब उन्हें ज्यामितीय अक्ष पर सकारात्मक अक्ष के साथ समान आधार पर प्रस्तुत किया गया।

1831 में, गॉस ने पूरी तरह से पुष्टि की कि नकारात्मक संख्याएं सकारात्मक संख्याओं के अधिकारों के बिल्कुल बराबर हैं, और तथ्य यह है कि उन्हें सभी मामलों में लागू नहीं किया जा सकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

! नकारात्मक संख्याओं का एक पूर्ण और पूरी तरह से कठोर सिद्धांत केवल 19वीं शताब्दी (विलियम हैमिल्टन और हरमन ग्रासमैन) में बनाया गया था।

शून्य

शून्य (शून्य, से अव्य. nullus - कोई नहीं) - मानक संख्या प्रणालियों में पहले (क्रम में) अंक का नाम, साथ ही किसी दिए गए मान की अनुपस्थिति को व्यक्त करने वाला गणितीय चिह्नवर्ग संख्या लिखने मेंस्थितीय संख्या प्रणाली .

! प्राचीन ग्रीस में, संख्या 0 ज्ञात नहीं थी। क्लॉडियस टॉलेमी की खगोलीय तालिकाओं में, खाली कोशिकाओं को नामित किया गया था
प्रतीक ο (अक्षर ओमीक्रॉन, प्राचीन ग्रीक ονδεν से - कुछ भी नहीं);

यह संभव है कि इस पदनाम ने शून्य की उपस्थिति को प्रभावित किया, लेकिन अधिकांश इतिहासकार स्वीकार करते हैं कि दशमलव शून्य का आविष्कार भारतीय गणितज्ञों द्वारा किया गया था। शून्य के बिना, भारत में खोजी गई संख्याओं का दशमलव स्थिति अंकन असंभव होता।

! ! पहला शून्य कोड 876 के भारतीय रिकॉर्ड में पाया गया था; ग्वालियर (भारत) के एक दीवार शिलालेख में संख्या 270 है। यह एक परिचित वृत्त जैसा दिखता है।

! यूरोप में, लंबे समय तक, शून्य को एक पारंपरिक प्रतीक माना जाता था और इसे एक संख्या के रूप में मान्यता नहीं दी जाती थी; 17वीं शताब्दी में भी वालिस ने लिखा था: "शून्य कोई संख्या नहीं है।"

! अंकगणितीय कार्यों में, एक ऋणात्मक संख्या की व्याख्या ऋण के रूप में की गई, और शून्य की व्याख्या पूर्ण बर्बादी की स्थिति के रूप में की गई। अन्य संख्याओं के साथ उसके अधिकारों की पूर्ण बराबरी
लिओनहार्ड यूलर के कार्यों ने विशेष योगदान दिया।

रूस में।

एल मैग्निट्स्की ने अपने "अंकगणित" में चिह्न 0 को "एक संख्या या कुछ भी नहीं" (पाठ का पहला पृष्ठ) कहा है; तालिका के दूसरे पृष्ठ पर जिसमें प्रत्येक संख्या को एक नाम दिया गया है, 0 को "कभी नहीं "। 18वीं शताब्दी के अंत में, एच. वुल्फ के "एब्रिज्ड फर्स्ट फ़ाउंडेशन ऑफ़ मैथमेटिक्स" (1791) के दूसरे रूसी संस्करण में, शून्य को भी कहा गया हैसंख्या। 17वीं शताब्दी में भारतीय अंकों का उपयोग करने वाली गणितीय पांडुलिपियों में, 0 को "कहा जाता है"ओनोम " अक्षर से इसकी समानता के कारणओ .

अन्य संस्कृतियों में शून्य

माया. भारतीयों से लगभग एक सहस्राब्दी पहले मायाओं ने अपनी आधार-20 संख्या प्रणाली में शून्य का उपयोग किया था। पहला जीवित माया कैलेंडर दिनांक स्टेला 10 दिसंबर, 36 ईसा पूर्व का है। यह उत्सुक है कि माया गणितज्ञों ने अनंत को नामित करने के लिए उसी चिह्न का उपयोग किया था, क्योंकि शब्द की यूरोपीय समझ में इस चिह्न का मतलब शून्य नहीं था, बल्कि "शुरुआत", "कारण" था। माया कैलेंडर में दिनों की गिनती शून्य दिन से शुरू होती थी, जिसे अहाऊ कहा जाता था।

इंकास. ताहुआंटिनसुयू के इंका साम्राज्य ने संख्यात्मक जानकारी रिकॉर्ड करने के लिए स्थितीय दशमलव संख्या प्रणाली पर आधारित नॉटेड क्विपु प्रणाली का उपयोग किया। 1 से 9 तक की संख्याओं को एक निश्चित प्रकार की गांठों द्वारा दर्शाया गया था, शून्य - वांछित स्थिति में एक गाँठ को छोड़ कर। हालाँकि, क्विपु को पढ़ते समय इंकास ने शून्य को दर्शाने के लिए किस शब्द का उपयोग किया था यह स्पष्ट नहीं है (आधुनिक क्वेशुआ भाषा में, शून्य का अर्थ "शब्द" है)लापता", "खाली"।