В фильтрах рассчет обычно начинают с задания параметров фильтра, самым главным из них является АЧХ. Как мы уже обсуждали в статье , сначала осуществляется приведение требований заданного фильтра к требованиям ФНЧ-прототипа. Пример требований к амплитудно-частотной характеристике ФНЧ-прототипа проектируемого фильтра приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Пример нормированной амплитудно-частотной характеристики ФНЧ

На данном графике приведена зависимость коэффициента передачи фильтра к нормированной частоте ξ , где ξ = f/f в

На приведенном на рисунке 1 графике видно, что в полосе пропускания задается допустимая неравномерность коэффициента передачи. В полосе непропускания задается минимальный коэффициент подавления мешающего сигнала. Реальная фильтра может иметь любую форму. Главное, чтобы она не пересекала границы заданных требований.

Достаточно длительное время расчет фильтра вели методом подбора амплитудно-частотной характеристики с помощью стандартных звеньев (m-звено или k-звено). Подобный метод назывался методом аппликации. Он был достаточно сложен и не давал оптимального соотношения качества разработанного фильтра и количества звеньев. Поэтому были разработаны математические методы аппроксимации амплитудно-частотной характеристики с заданными характеристиками.

Аппроксимацией в математике называют представление сложной зависимости некоторой известной функцией. Обычно эта функция достаточно проста. В случае разработки фильтра важно, чтобы аппроксимирующая функция легко могла быть реализована схемотехнически. Для этого функции реализуются при помощи нулей и полюсов коэффициента передачи четырехполюсника, в данном случае фильтра. Они легко реализуются при помощи LC-контуров или с обратными связями.

Наиболее распространенным видом аппроксимации АЧХ фильтра является аппроксимация по Баттерворту. Подобные фильтры получили название фильтры Баттерворта.

Фильтры Баттерворта

Отличительной особенностью амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттерворта является отсутствие минимумов и максимумов в полосе пропускания и задерживания. Спад АЧХ на границе полосы пропускания этих фильтров равен 3 дБ. Если от фильтра требуется меньшее значение неравномерности в полосе пропускания, то верняя частота фильтра f в выбирается выше заданной верхней частоты полосы пропускания. Функция аппроксимации АЧХ для ФНЧ-прототипа фильтра Баттерворта выглядит следующим образом:

(1),

где ξ — нормированная частота;
n — порядок фильтра.

При этом реальную амплитудно-частотную характеристику разрабатываемого фильтра можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза фильтра. Для фильтра Баттерворта нижних частот функция аппроксимации АЧХ будет выглядеть следующим образом:

(2).

Сейчас обратим внимание, что при расчете фильтров широко используется понятие комплексной s-плоскости, на которой по оси ординат отложена круговая частота jω , а по оси абсцисс — величина, обратная добротности. Таким образом можно определить основные параметры LC-контуров, которые входят в состав схемы фильтра: частоту настройки (резонансную частоту) и добротность. Переход в s-плоскость осуществляется при помощи .

Подробный вывод положения полюсов фильтра Баттерворта на комплексной s-плоскости приведен в . Для нас главное, что полюса этого фильтра расположены на единичной окружности на равном расстоянии друг от друга. Количество полюсов определяется порядком фильтра.

На рисунке 2 приведено расположение полюсов для фильтра Баттерворта первого порядка. Рядом показана АЧХ, соответствующая данному расположению полюсов на комплексной s-плоскости.

Рисунок 2. Расположение полюса и АЧХ фильтра Баттерворта первого порядка

На рисунке 2 видно, что для фильтра первого порядка полюс должен быть настроен на нулевую частоту и его добротность должна быть равна единице. На графике АЧХ видно, что частота настройки полюса действительно равна нулю, а добротность полюса такова, что на частоте среза нормированного фильтра Баттерворта, равной единице, его коэффициент передачи равен −3дБ.

Точно таким же образом определяются полюса для фильтра Баттерворта второго порядка. На этот раз частота настройки полюса выбирается на пересечении единичной окружности с прямой, проходящей через центр окружности под углом 45° Пример расположения полюсов на комплексной s-плоскости и АЧХ фильтра Баттерворта второго порядка приведен на рисунке 3.

Рисунок 3. Расположение полюсов и АЧХ фильтра Баттерворта второго порядка

В данном случае резонансная частота полюса расположена недалеко от частоты среза нормированного фильтра. Она равна 0,707. Добротность полюса по графику расположения полюсов в корень из двух раз выше добротности полюса фильтра Баттерворта первого порядка, поэтому крутизна спада амплитудно-частотной характеристики получается больше. (Обратите внимание на цифры в правой части графика. При отстройке по частоте, равной 2, подавление равно уже 13 дБ) Левая часть амплитудно-частотной характеристики полюса получается плоской. Это связано с влиянием полюса, расположенного в зоне отрицательных частот.

Расположение полюсов и амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта третьего порядка показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Расположение полюсов фильтра Баттерворта третьего порядка

Как видно из графиков, показанных на рисунках 2...5, при увеличении порядка фильтра Баттерворта увеличивается крутизна спада амплитудно-частотной характеристики и возрастает требующаяся добротность цепи второго порядка (контура), реализующего полюс характеристики передачи фильтра. Именно возрастанием требующейся добротности и ограничивается максимальный порядок фильтра, который удается реализовать. В настоящее время удается реализовать фильтры Баттерворта вплоть до восьмого — десятого порядка.

Фильтры Чебышева

В фильтрах Чебышева аппроксимация амплитудно-частотной характеристики производится следующим образом:

(3),

При этом амплитудно-частотную характеристику реального фильтра Чебышева точно также как и в фильтре Баттерворта можно получить, умножив нормированную частоту ξ на частоту среза разрабатываемого фильтра. Для фильтра Чебышева нижних частот амплитудно-частотную характеристику можно определить следующим образом:

(4).

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева низких частот характеризуется более крутым спадом в области частот выше верхней частоты пропускания. Этот выигрыш достигается за счет появления неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Неравномерность функции аппроксимации АЧХ фильтра Чебышева вызывается большей добротностью полюсов.

Подробный вывод положения полюсов аппроксимирующей функции фильтра Чебышева на s-плоскости приведен в . Для нас важно то, что полюса фильтра Чебышева расположены на эллипсе, большая ось которого совпадает с осью нормированных частот. На этой оси эллипс проходит через точку частоты среза фильтра нижних частот.

В нормированном варианте эта точка равна единице. Вторая ось определяется неравномерностью функции аппроксимации АЧХ в полосе пропускания. Чем больше допустимая неравномерность в полосе пропускания, тем меньше эта ось. Происходит как бы "сплющивание" единичной окружности фильтра Баттерворта. Полюса как бы приближаются к оси частот. Это соответствует возрастанию добротности полюсов фильтра. Чем больше неравномерность в полосе пропускания, тем больше добротность полюсов, тем больше скорость возрастания затухания в полосе непропускания фильтра Чебышева. Количество полюсов функции аппроксимации АЧХ определяется порядком фильтра Чебышева.

Следует заметить, что фильтра Чебышева первого порядка не существует. Расположение полюсов и АЧХ фильтра Чебышева второго порядка приведено на рисунке 5. Характеристика фильтра Чебышева интересна тем, что на ней отчетливо видны частоты полюсов. Они соответствуют максимумам АЧХ в полосе пропускания. У фильтра второго порядка частота полюса соответствует ξ =0.707.

План:

Введение

• 1 Обзор
  • 1.1 Нормированные полиномы Баттерворта
  • 1.2 Максимальная гладкость
  • 1.3 Спад характеристики на высоких частотах
• 2 Проектирование фильтра
  • 2.1 Топология Кауэра
  • 2.2 Топология Саллена-Кея
• 3 Сравнение с другими линейными фильтрами
• 4 Пример
Литература

Введение

Фильтр Баттерво́рта - один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.

Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером Стефаном Баттервортом в статье «О теории фильтрующих усилителей» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers ), в журнале Wireless Engineer в 1930 году.

1. Обзор

АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает со скоростью −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка - на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта - монотонно убывающая функция частоты. Фильтр Баттерворта - единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.

АЧХ для фильтров Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5. Наклон характерстики - 20n дБ/декаду, где n - порядок фильтра.

Как и для всех фильтров при рассмотрении частотных характеристик используют фильтр нижних частот, из которого легко можно получить фильтр высоких частот, а, включив несколько таких фильтров последовательно, - полосовой фильтр или режекторный фильтр.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта -го порядка может быть получена из передаточной функции :

Легко заметить, что для бесконечных значений АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления , а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений спад характеристики будет пологим.

С помощью формальной замены представим выражение в виде :

Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости. -й полюс определяется из следующего выражения:

Передаточную функцию можно записать в виде:

Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для s -плоскости, а для z -плоскости.

Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом Баттерворта.

1.1. Нормированные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут записываться в комплексной форме, как показано выше, однако обычно они записываются в виде соотношений с вещественными коэффициентами (комплексно-сопряжённые пары объединяются с помощью умножения). Нормируются полиномы по частоте среза: . Нормированные полиномы Баттерворта, таким образом, имеют следующую каноническую форму:

, - чётно , - нечётно

Ниже представлены коэффициенты полиномов Баттерворта для первых восьми порядков:

Коэффициенты полиномов 1 2 3 4 5 6 7 8

1.2. Максимальная гладкость

Приняв и , производная амплитудной характеристики по частоте будет выглядеть следующим образом:

Она монотонно убывает для всех так как коэффициент усиления всегда положителен. Таким образом, АЧХ фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. При разложении амплитудной характеристи в ряд, получим:

Другими словами, все производные амплитудно-частотной характерситики по частоте до 2n -й равны нулю, из чего следует «максимальная гладкость».

1.3. Спад характеристики на высоких частотах

Приняв , найдём наклон логарифма АЧХ на высоких частотах:

В децибелах высокочастотная асимптота имеет наклон −20n дБ/декаду.

2. Проектирование фильтра

Существует ряд различных топологий фильтра, с помощью которых реализуются линейные аналоговые фильтры. Эти схемы отличаются только значениями элементов, структура же остаётся неизменной.

2.1. Топология Кауэра

Топология Кауэра использует пассивные элементы (ёмкости и индуктивности) . Фильтр Баттеворта с заданной передаточной функцией может быть построен в форме Кауэра 1 типа. k-й элемент фильтра задаётся соотношением:

; k нечётно ; k чётно

2.2. Топология Саллена-Кея

Топология Саллена-Кея использует помимо пассивных также и активные элементы (операционные усилители и ёмкости). Каждый каскад схемы Саллена-Кея представляет собой часть фильтра, математически описываемую парой комплексно-сопряжённых полюсов. Весь фильтр получается последовательным соединением всех каскадов. В случае, если попадается действительный полюс, он должен быть реализован отдельно, обычно в виде RC-цепочки, и включён в общую схему.

Передаточная функция каждого каскада в схеме Саллена-Кея имеет вид:

Нужно, чтобы знаменатель представлял собой один из множителей полинома Баттерворта. Приняв , получим:

Последнее соотношение даёт две неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно.

3. Сравнение с другими линейными фильтрами

Рисунок ниже показывает АЧХ фильтра Баттерворта в сравнении с другими популярными линейными фильтрами одинакового (пятого) порядка:

Из рисунка видно, что спад АЧХ фильтра Баттерворта самый медленный из четырёх, однако он имеет и самую гладкую АЧХ на частотах полосы пропускания.

4. Пример

Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот (топология Кауэра) с частотой среза со следующими номиналами элементов: фарад, ом, и генри.

Логарифмический график плотности передаточной функции H(s) на плоскости комплексного аргумента для фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза . Три полюса лежат на круге единичного радиуса в левой полуплоскости.

Рассмотрим аналоговый низкочастотный фильтр Баттерворта третьего порядка с фарад, ом, и генри. Обозначив полное сопротивление ёмкостей C как 1/Cs и полное сопротивление индуктивностей L как Ls , где - комплексная переменная, и используя уравнения для расчёта электрических схем, получим следующую передаточную функцию для такого фильтра:

АЧХ задаётся уравнением:

а ФЧХ задаётся уравнением:

Групповая задержка определяется как минус производная фазы по круговой частоте и является мерой искажений сигнала по фазе на различных частотах. Логарифмическая АЧХ такого фильтра не имеет пульсаций ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

График модуля передаточной функции на комплексной плоскости ясно указывает на три полюса в левой полуплоскости. Передаточная функция полностью определяется расположением этих полюсов на единичном круге симметрично относительно действительной оси.

Заменив каждую индуктивность ёмкостью, а ёмкости - индуктивностями, получим высокочастотный фильтр Баттерворта.

И групповая задержка фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза

Литература

• В.А. Лукас Теория автоматического управления. - M.: Недра, 1990.
• Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. - М .: Энергия, 1977.
• Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
• Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
• Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. - Second Edition. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
• Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
• B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
• S. Haykin Adaptive Filter Theory. - 4rd Edition. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters - Structures, Algorithms, and Applications. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
• Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
• L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Баттерворта 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Чебышева 3 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Чебышева 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Бесселя 3 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Бесселя 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Произвести анализ влияния ошибок задания коэффициентов цифрового ФНЧ на АЧХ (изменяя один из коэффициентов b j ). Описать характер изменения ЧХ. Сделать вывод о влиянии изменения одного из коэффициентов на поведение фильтра.

Анализ влияния ошибок задания коэффициентов цифрового ФНЧ на АЧХ проведем на примере фильтра Бесселя 4 порядка.

Выберем величину отклонения коэффициентов ε, равной –1,5%, чтобы максимальное отклонение АЧХ составило около 10%.

АЧХ "идеального" фильтра и фильтров с измененными коэффициентами на величину ε показана на рисунке:

И

з рисунка видно, что наибольшее влияние на АЧХ оказывает изменение коэффициентовb 1 и b 2 , (их величина превышает величину других коэффициентов). Используя отрицательную величину ε, отмечаем, что положительные коэффициенты уменьшают амплитуду в нижней части спектра, а отрицательные – увеличивают. При положительной величине ε, все происходит наоборот.

Проквантовать коэффициенты цифрового фильтра на такое число двоичных разрядов, чтобы максимальное отклонение АЧХ от исходной составляло порядка 10 - 20%. Зарисовать АЧХ и описать характер ее изменения.

Изменяя число разрядов дробной части коэффициентов b j отметим, чтомаксимальное отклонение АЧХ от исходной не превышающее 20% получается приn≥3.

Вид АЧХ при различных n приведен на рисунках:

n =3, максимальное отклонение АЧХ=19,7%

n =4, максимальное отклонение АЧХ=13,2%

n =5, максимальное отклонение АЧХ=5,8%

n =6, максимальное отклонение АЧХ=1,7%

Таким образом, можно отметить, что увеличение разрядности при квантовании коэффициентов фильтра приводит к тому, что АЧХ фильтра все больше стремится к исходной. Однако необходимо отметить, что это усложняет физическую реализуемость фильтра.

Квантование при различных n можно проследить по рисунку:

Тема занятия 28: Классификация электрических фильтров.

28.1 Определения.

Электрическим частотным фильтром называется четырехполюсник, который токи одних частот пропускает хорошо с малым затуханием (ослаблением 3 дБ), а токи других частот плохо с большим затуханием (30 дБ).

Диапазон частот, в которых ослабление мало называется полосой пропускания.

Диапазон частот, в которых ослабление велико называется полосой задерживания.

Между этими полосами вводят полосу перехода.

Основной характеристикой электрических фильтров является зависимость рабочего затухания от частоты.

Эта характеристика называется частотной характеристикой затухания.

- частота среза, на которой рабочее затухание составляет 3 дБ.

- допустимое затухание, задается механическими параметрами фильтра.

- допустимая частота, соответствующая допустимому затуханию.

ПП- полоса пропускания – область частот, в которых
дБ.

ПЗ – полоса задерживания – область частот, в которых рабочее затухание больше допустимого.

28.2 Классификация

1
По расположению полосы пропускания:

а) ФНЧ – фильтр нижних частот – пропускает низкие частоты и задерживает верхние.

Применяется в аппаратуре связи(телевизионные приемники).

б
) ФВЧ – фильтр верхних частот – пропускает высокие частоты и задерживает низкие.

в
) ПФ – полосовые фильтры – пропускают только определенную полосу частот.

г
) ЗФ - режекторные или заграждающие фильтры – не пропускают только определенную полосу частот, а остальные пропускают.

2 По элементной базе:

а) фильтры LC(пассивные)

б) фильтры RC(пассивные)

в) активные фильтры ARC

г) специальные типы фильтров:

Пьезоэлектрические

Магнитострикционные

3 По математическому обеспечению:

а
) фильтры Баттерворта. Характеристика рабочего затухания
имеет на частотеf=0 значение 0 , а затем монотонно увеличивается. В полосе пропускания имеет плоскую характеристику – это достоинство, но в полосе задерживания идет не круто – это недостаток.

б) фильтры Чебышева. Чтобы получить более крутую характеристику используют фильтры Чебышева, но у них в полосе пропускания появляется «волнистость», что является недостатком.

в) фильтры Золотарева. Характеристика рабочего затухания
в полосе пропускания имеет волнистость, а в полосе задерживания провал характеристик.

Тема занятия 29: Фильтры НЧ и ВЧ Баттерворта.

29.1 Фнч Баттерворта.

Баттерворт предложил следующую формулу затухания:

,дБ

где
- функция Баттерворта (нормированная частота)

n– порядок фильтра

Для ФНЧ
, где- любая нужная частота

- частота среза, которая равна

Чтобы реализовать такую характеристику используются фильтры LиC.

И

ндуктивность ставят последовательно нагрузке, так как
и с ростомувеличивается
.Поэтому токи низких частот легко пройдут через сопротивление индуктивности, а токи высоких частот задержатся и в нагрузку не попадут.

Конденсатор ставят параллельно нагрузке, так как
, поэтому конденсатор хорошо пропускает токи верхних частот и плохо нижних. Токи верхних частот замкнутся через конденсатор, а токи низких частот пройдут в нагрузку.

Схема фильтра состоит из чередующихся LиC.

ФНЧ Баттерворта 3-го порядка Т-образный

ФНЧ Баттерворта. 3-го порядка П-образный.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Кафедра РЭУ

КУРСОВАЯ РАБОТА

РАСЧЁТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ФИЛЬТР ВЕРХНИХ ЧАСТОТ БАТТЕРВОРТА

Харьков 2008 г.

Техническое задание

Спроектировать фильтр верхних частот (ФВЧ) с аппроксимацией амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) полиномом Баттерворта, определить необходимый порядок фильтра, если заданы параметры АЧХ (рис.1): К 0 =26дБ

U m Вх =250мВ

где - максимальный коэффициент передачи фильтра;

Минимальный коэффициент передачи в полосе пропускания;

Максимальный коэффициент передачи фильтра в полосе задержки;

Частота среза;

Частота, начиная с которой коэффициент передачи фильтра меньше .

Рисунок 1 – Шаблон ФВЧ Баттерворта.

Обеспечить небольшую чувствительность к отклонениям номиналов элементов.

РЕФЕРАТ

Расчётно-пояснительная записка: 26 с., 11 рис., 6 табл.

Цель работы: синтез схемы активного RC-фильтра верхних частот и расчёт её компонентов.

Метод исследования: аппроксимация АЧХ фильтра полиномом Баттерворта.

Аппроксимированная передаточная функция реализована с помощью активного фильтра. Фильтр построен каскадным соединением независимых звеньев. В активных фильтрах использованы неинвертирующие усилители с конечным усилением, которые реализованы с помощью операционных усилителей.

Результаты работы могут использоваться для синтеза фильтров радиотехнической и бытовой аппаратуры.

Вступление

1. Обзор аналогичных схем

3.1 Осуществление нормировки ФВЧ

3.2 Определение необходимого порядка фильтра

3.3 Определение полинома Баттерворта

3.4 Обратный переход от нормированного к проектируемому ФВЧ

3.5Переход от передаточной функции к схеме

3.6Переход от передаточной функции к схеме

4. Расчёт элементов схемы

5. Методика настройки регулировки разработанного фильтра

Вступление

До недавнего времени результаты сопоставления цифровых и аналоговых устройств в радиоаппаратуре и технических средствах электросвязи не могли не вызывать чувства неудовлетворённости. Цифровые узлы, реализуемые с широким использованием интегральных микросхем (ИМС), выгодно отличались своей конструктивно-технологической завершённостью. Иначе обстояло дело с узлами аналоговой обработки сигналов, которые, например, в телекоммуникациях составляли от 40 до 60% объёма и массы аппаратуры связи. Громоздкие, содержащие большое число ненадёжных и трудоёмких намоточных элементов, они выглядели на фоне больших интегральных схем столь удручающе, что породили у ряда специалистов мнение о необходимости “тотальной цифризации” радиоэлектронной аппаратуры.

Последнее, однако, как любая другая крайность, не привело (да и не могло привести) к результатам, адекватным ожидаемым. Истина, как и во всех других случаях, оказалась где-то посередине. В ряде случаев более эффективной оказывается аппаратура, построенная на функциональных аналоговых узлах, элементный базис которых адекватен возможностям и ограничениям микроэлектроники.

Адекватность в данном случае может быть обеспечена переходом к активным RC-цепям, в элементный базис которых не входят катушки индуктивностей и трансформаторы, принципиально не реализуемые средствами микроэлектроники.

Обоснованность такого перехода определяется в настоящее время, с одной стороны, достижениями теории активных RC-цепей, а с другой – успехами микроэлектроники, предоставившей в распоряжение разработчиков высококачественные линейные интегральные схемы, в том числе и интегральные операционные усилители (ОУ). Эти ОУ, обладая большими функциональными возможностями, существенно обогатили аналоговую схемотехнику. Особенно ярко это проявилось в схемотехнику активных фильтров.

До 60-х годов для реализации фильтров применялись, в основном пассивные элементы, т.е. индуктивности, конденсаторы и резисторы. Основной проблемой при реализации таких фильтров оказывается размер катушек индуктивности (на низких частотах они становятся слишком громоздкими). С разработкой в 60-х годах интегральных операционных усилителей появилось новое направление проектирования активных фильтров на базе ОУ. В активных фильтрах применяются резисторы, конденсаторы и ОУ (активные компоненты), но в них нет катушек индуктивности. В дальнейшем активные фильтры почти полностью заменили пассивные. Сейчас пассивные фильтры применяются только на высоких частотах (выше 1 МГц), за пределами частотного диапазона большинства ОУ широкого применения. Но даже во многих высокочастотных устройствах, например в радиопередатчиках и приёмниках, традиционные RLC-фильтры заменяются кварцевыми фильтрами и фильтрами на поверхностных акустических волнах.

Сейчас во многих случаях аналоговые фильтры заменяются цифровыми. Работа цифровых фильтров обеспечивается, в основном, программными средствами, поэтому они оказываются значительно более гибкими в применении по сравнению с аналоговыми. С помощью цифровых фильтров можно реализовать такие передаточные функции, которые очень трудно получить обычными методами. Тем не менее, цифровые фильтры пока не могут заменить аналоговые во всех ситуациях, поэтому сохраняется потребность в наиболее популярных аналоговых фильтрах – активных RC-фильтрах.

1. Обзор аналогичных схем

Фильтры – это частотно-избирательные устройства, которые пропускают или задерживают сигналы, лежащие в определённых полосах частот.

Фильтры можно классифицировать по их частотным характеристикам:

1. Фильтры нижних частот (ФНЧ) – пропускают все колебания с частотами не выше некоторой частоты среза и постоянную составляющую.

2. Фильтры верхних частот (ФНЧ) – пропускают все колебания не ниже некоторой частоты среза.

3. Полосовые фильтры (ПФ) – пропускают колебания в определённой полосе частот, которая определяется по некоторому уровню частотной характеристики.

4. Полосно-подавляющие фильтры (ППФ) - задерживают колебания в определённой полосе частот, которая определяется по некоторому уровню частотной характеристики.

5. Режекторные фильтры (РФ) – вид ППФ, имеющий узкую полосу задержки и называемый ещё фильтром-пробкой.

6. Фазовые фильтры (ФФ) – имеют постоянный в идеальном случае коэффициент передачи на всех частотах и предназначен для изменения фазы входных сигналов (в частности для временной задержки сигналов).

Рисунок 1.1 – Основные типы фильтров

С помощью активных RC-фильтров нельзя получить идеальные формы частотных характеристик в виде показанных на рис.1.1 прямоугольников со строго постоянным коэффициентом передачи в полосе пропускания, бесконечным ослаблением в полосе подавления и бесконечной крутизной спада при переходе от полосы пропускания к полосе подавления. Проектирование активного фильтра всегда представляет собой поиск компромисса между идеальной формой характеристики и сложностью её реализации. Это называется “проблемой аппроксимации“. Во многих случаях требования к качеству фильтрации позволяют обойтись простейшими фильтрами первого и второго порядков. Некоторые схемы таких фильтров представлены ниже. Проектирование фильтра в этом случае сводиться к выбору схемы с наиболее подходящей конфигурацией и последующему расчёту значений номиналов элементов для конкретных частот.

Однако бывают ситуации, когда требования к фильтрации могут оказаться гораздо более жёсткими, и могут потребоваться схемы более высоких порядков, чем первый и второй. Проектирование фильтров высоких порядков является более сложной задачей, чему посвящена данная курсовая работа.

Ниже приведены некоторые основные схемы первого второго порядков с описанием достоинств и недостатков каждой из них.

1. ФНЧ-I и ФВЧ-Iна основе не инвертирующего усилителя.

Рисунок 1.2 – Фильтры на основе неинвертирующего усилителя:

а) ФНЧ-I, б) ФВЧ-I.

К достоинствам схем фильтров можно отнести главным образом простоту реализации и настройки, недостатки – малая крутизна частотных характеристик, малоустойчивы к самовозбуждению.

2. ФНЧ-IIи ФВЧ-IIс много петлевой обратной связью.

Рисунок 1.3 – Фильтры с многопетлевой обратной связью:

а) ФНЧ-II, б) ФВЧ-II.

Таблица 2.1 – Достоинства и недостатки ФНЧ-II с много петлевой обратной связью

Таблица 2.2 – Достоинства и недостатки ФВЧ-II с много петлевой обратной связью

2. ФНЧ-IIи ФВЧ-IIСаллена-Кея.

Рисунок 1.4 – Фильтры Саллена-Кея:

а) ФНЧ-II, б) ФВЧ-II

Таблица 2.3 – Достоинства и недостатки ФНЧ-II Саллена-Кея.

Таблица 2.4 – Достоинства и недостатки ФВЧ-II Саллена-Кея.

3. ФНЧ-IIи ФВЧ-IIна основе конверторов полного сопротивления.

Рисунок 1.5 – Схема ФНЧ IIна основе конверторов полного сопротивления:

а) ФНЧ-II, б) ФВЧ-II.

Таблица 2.3 – Достоинства и недостатки ФНЧ-II и ФВЧ-II на основе конверторов полного сопротивления.

2. Выбор и обоснование схемы фильтра

Методы проектирования фильтров отличаются по конструктивным особенностям. Проектирования пассивных RC-фильтров большей частью определяется структурной схемой

Активные фильтры АФ математически описывают передаточною функцией. Типам АЧХ предоставлен названия полиномов передаточных функций. Каждый тип АЧХ реализуют определенным количеством полюсов (RC-цепей) в соответствии с заданной крутизной спада АЧХ. Известнейшими, есть аппроксимации Баттерворта, Бесселя, Чебышева.

Фильтр Баттерворта имеет максимально плоскую АЧХ, в полосе подавления наклон переходного участка равняется 6 дБ/окт на полюс, но он имеет нелинейную ФЧХ, входное импульсное напряжение служит причиной осцилляции на выходе, потому фильтр используется для непрерывных сигналов.

Фильтр Бесселя имеет линейную ФЧХ, небольшую крутизну переходного участка АЧХ. Сигналы всех частот в полосе пропускания имеют одинаковые временные задержки, поэтому он пригодный для фильтрации прямоугольных импульсов, которые надо посылать без искажений.

Фильтр Чебышева - фильтр равных волн в СП, масс плоскую форму за ее пределами, пригодный для непрерывных сигналов в случаях, капы надо иметь крутой склон АЧХ за частотой среза.

Простые схемы фильтров первого и второго порядков применяются лишь, когда нет жестких требований к качеству фильтрации.

Каскадное соединение звеньев фильтра осуществляют, если нужен порядок фильтра выше второго, то есть когда надо сформировать передаточную характеристику с очень большим послаблением сигналов в полосе подавленный и большой крутизной затухания АЧХ Результирующую передаточную функцию получают, перемножая частичные коэффициенты передачи

Цепи строят по одинаковой схеме, но номиналы элементов

R, С разные, и зависят от частот среза фильтра и его ланок: f зр.ф /f зр.л

Однако следует помнить, что каскадное соединение, например, двух фильтров Баттерворта второго порядка не дает фильтр Баттерворта четвертого порядка, так как результирующий фильтр будет иметь другую частоту среза и другую АЧХ. Поэтому необходимо выбирать коэффициенты одиночных звеньев таким образом, чтобы следующее произведение передаточных функций отвечал выбранному типу аппроксимации. Поэтому проектирования АФ вызовет затруднения со стороны получения идеальной характеристики и сложности ее реализации.

Благодаря очень большим входным и маленьким выходным сопротивлениям каждого звена обеспечивается отсутствие искажений заданной передаточной функции и возможность независимого регулирования каждого звена. Независимость звеньев дает возможность широко регулировать свойства каждого звена изменением его параметров.

Принципиально не имеет значения, в котором порядке размещенные частичные фильтры, так как результирующая передаточная функция всегда будет одинаковой. Тем не менее, существуют разнообразные практические рекомендации относительно порядка соединения частичных фильтров. Например, для защиты от самовозбуждения следует организовать последовательность звеньев в порядке возрастания частичной предельной частоты. Другой порядок может привести к самовозбуждению второго звена в области выброса его АЧХ, поскольку фильтры с высшими предельными частотами обычно имеют большую добротность в области граничной частоты.

Другой критерий, связан с требованиями минимизации, уровня шумов на входе. В этом случае последовательность звеньев обратная, так как фильтр с минимальной предельной частотой ослабляет уровень шума, который возникает от предыдущих звеньев каскада.

3. Топологическая модель фильтра и передаточная функция по напряжению

3.1 В данном пункте будет выбран порядок ФВЧ Баттерворта и определён вид его передаточной функции согласно заданным в ТЗ параметрам:

Рисунок 2.1 – Шаблон ФВЧ согласно техническому заданию.

Топологическая модель фильтра.

3.2 Осуществление нормировки ФВЧ

По условию задания находим нужные нам граничные условия частоты фильтра. И нормируем за коэффициентом передачи та за частотою.

За коэффициентом передачи:

К max =K 0 -K п =26-23=3дБ

К min =К 0 -К з =26-(-5)=31дБ

По частоте:

3.3 Определение необходимого порядка фильтра

Округляем nдо ближайшего целого значения: n = 3.

Таким образом, для удовлетворения требований, заданных шаблоном, необходим фильтр третьего порядка.

3.4 Определение полинома Баттерворта

Согласно таблице нормированных передаточных функций фильтров Баттерворта находим полином Баттерворта третьего порядка:

3.5 Обратный переход от нормированного к проектируемому ФВЧ

Проведём обратный переход от нормированного ФВЧ к проектируемому ФВЧ.

· масштабирование по коэффициенту передачи:

· масштабирование по частоте:

Производим замену

В результате масштабирования получаем передаточную функцию W(p) в виде:

Рисунок 2.2 – АЧХ проектируемого ФВЧ Баттерворта.

3.6 Переход от передаточной функции к схеме

Представим передаточную функцию проектируемого ФВЧ третьего порядка в виде произведения передаточных функций двух активных ФВЧ первого и второго порядка, т.е. в виде

и ,

где – коэффициент передачи на бесконечно высокой частоте;

– частота полюса;

– добротность фильтра (отношение коэффициента усиления на частоте к коэффициенту усиления в полосе пропускания).

Этот переход справедлив, так как общий порядок последовательно соединенных активных фильтров будет равен сумме порядков отдельно взятых фильтров (1 + 2 = 3).

Общий коэффициент передачи фильтра (K0 = 19.952) будет определяться произведением коэффициентов передачи отдельных фильтров (K1, K2).

Разложив передаточную функцию на квадратичные сомножители, получим:

В этом выражении

. (2.5.1)

Нетрудно заметить, что частоты полюсов и добротности передаточных функций отличаются.

Для первой передаточной функции:

частота полюса ;

добротность ФВЧ-Iпостоянна и равна .

Для второй передаточной функции:

частота полюса ;

добротность .

Для того чтобы к операционным усилителям в каждом каскаде предъявлялись примерно равные требования по частотным свойствам, целесообразно общий коэффициент передачи всего фильтра распределить между каждым из каскадов обратно пропорционально добротности соответствующих каскадов, а характерную частоту (частоту единичного усиления ОУ) выбрать максимальную среди всех каскадов.

Так как в данном случае ФВЧ состоит из двух каскадов, то указанное выше условие можно записать в виде:

. (2.5.2)

Подставляя выражение (2.5.2) в (2.5.1), получаем:

;

Проверим правильность расчёта коэффициентов передачи. Общий коэффициент передачи фильтра в разах будет определяться произведением коэффициентов отдельных фильтров. Переведём коэффициент издБ в разы:

Т.е. расчёты верны.

Запишем передаточную характеристику с учётом расcчитанных выше величин ():

.

3.7 Выбор схемы активного ФВЧ третьего порядка

Так как согласно заданию необходимо обеспечить небольшую чувствительность к отклонениям элементов, то выберем в качестве первого каскада ФВЧ-Iна основе не инвертирующего усилителя (рис.1.2,б), а второго – ФВЧ-IIна основе конверторов полного сопротивления (КПС), схема которого приведена на рис.1.5,б.

Для ФВЧ-I на основе не инвертирующего усилителя зависимость параметров фильтра от номиналов элементов схемы таково:

Для ФВЧ-IIна основе КПС параметры фильтра зависят от номиналов элементов следующим образом:

; (3.4)

;

4. Расчёт элементов схемы

· Расчёт первого каскада (ФВЧ I) с параметрами

Выберем R1 исходя из требований к величине входного сопротивления (): R1 = 200 кОм. Тогда из (3.2) следует, что

.

Выберем R2 = 10 кОм, тогда из (3.1) следует, что

· Расчёт второго каскада (ФВЧ II) с параметрами

. .

Тогда (коэффициент в числителе подобран так, чтобы получить номинал ёмкости из стандартного ряда Е24). Итак С2 = 4.3 нФ.

Из (3.3) следует, что

Из (3.1) следует, что

Пусть . Итак С1 = 36 нФ.

Таблица 4.1– Номиналы элементов фильтра

Из данных таблицы 4.1мы можем приступить к моделированию схемы фильтра.

Это мы делаем при помощи специальной программы Workbench5.0.

Схема и результаты моделирования приведены на рис.4.1. и рис.4.2,а-б.

Рисунок 4.1 – Схема ФВЧ Баттерворта третьего порядка.

Рисунок 4.2– Результирующие АЧХ (а) и ФЧХ (б) фильтра.

5. Методика настройки и регулирования разработанного фильтра

Чтобы в реальном фильтре обеспечивалась нужная АЧХ, сопротивления и емкости нужно выбирать с большой точностью.

Это очень просто сделать для резисторов, если их брать с допуском не более 1%, и тяжелее для емкостей конденсаторов, потому что допуски у них в районе 5-20%. Из-за этого сначала рассчитывается емкость, а потом рассчитывается сопротивление резисторов.

5.1 Выбор типа конденсаторов

· Выберем низкочастотный тип конденсаторов в силу их меньшей стоимости.

· Необходимы небольшие габариты и масса конденсаторов

· Выбирать конденсаторы нужно с как можно меньшими потерями (с маленьким тангенсом угла диэлектрических потерь).

Некоторые параметры группы К10-17 (взяты из ):

Размеры, мм.

Масса, г0,5…2

Допускаемое отклонение ёмкости, %

Тангенс угла потерь0,0015

Сопротивление изоляции, МОм1000

Диапазон рабочих температур, – 60…+125

5.2 Выбор типа резисторов

· Для схемы проектируемого фильтра, чтобы обеспечить низкую температурную зависимость, необходимо выбирать резисторы с минимальным ТКС.

· Выбираемые резисторы должны обладать минимальными собственными ёмкостью и индуктивностью, поэтому выберем непроволочный тип резисторов.

· Однако у непроволочных резисторов более высокий уровень токовых шумов, поэтому необходимо учесть и параметр уровня собственных шумов резисторов.

Прецизионные резисторы типа С2-29В удовлетворяют заданным требованиям (параметры взяты из ):

Номинальная мощность, Вт 0.125;

Диапазон номинальных сопротивлений, Ом ;

ТКС (в интервале температур ),

ТКС (в интервале температур ),

Уровень собственных шумов, мкВ/В1…5

Предельное рабочее напряжение постоянного

и переменного тока, В200

5.3 Выбор типа операционных усилителей

· Главный критерий при выборе ОУ – это его частотные свойства, так как реальные ОУ имеют конечную полосу пропускания. Для того чтобы частотные свойства ОУ не влияли на характеристику проектируемого фильтра, необходимо чтоб для частоты единичного усиления ОУ в i-том каскаде выполнялось соотношение:

Для первого каскада: .

Для второго каскада: .

Выбирая большее значение, получаем, что частота единичного усиления ОУ не должна быть менее 100 Кгц.

· Коэффициент усиления ОУ должен быть достаточно большим.

· Напряжение питания ОУ должно соответствовать напряжению источников питания, если таковое известно. В противном случае, желательно выбрать ОУ с широким диапазоном напряжений питания.

· При выборе ОУ для многокаскадного ФВЧ лучше выбрать ОУ с возможно меньшим напряжения смещения.

Согласно справочнику выберем ОУ типа 140УД6А, конструктивно оформленный в корпусе типа 301.8-2. ОУ этого типа являются ОУ общего назначения с внутренней частотной коррекцией и защитой выхода при коротких замыканиях нагрузки и имеют следующие параметры:

Напряжение питания , В

Напряжение питания , В

Ток потребления , мА

Напряжение смещения, мВ

Коэффициент усиления ОУ по напряжению

Частота единичного усиления , МГц1

5.4 Методика настройки и регулировки разработанного фильтра

Настройка данного фильтра не представляет большой сложности. Параметры частотной характеристики “подгоняются” с помощью резисторов, как первого, так и второго каскадов независимо друг от друга, при чём настройка одного параметра фильтра не влияет на значения других параметров.

Настройка проводится следующим образом:

1. Коэффициент усиления устанавливается резисторами R2 первого и R5 второго каскада.

2. Частота полюса первого каскада настраивается резистором R1, частота полюса второго каскада – резистором R4.

3. Добротность второго каскада регулируется резистором R8, а добротность первого каскада не регулируется (постоянна при любых номиналах элементов).

Итогом данной курсовой работы является получение и расчёт схемы заданного фильтра. ФВЧ с аппроксимацией частотных характеристик полиномом Баттерворта с параметрами, приведенными в техническом задании, имеет третий порядок и представляет собой двокаскадно - соединённых ФВЧ первого порядка (на основе не инвертирующего усилителя) и второго порядка (на основе конвертеров полного сопротивления). Схема содержит три операционных усилителя, восемь резисторов и три ёмкости. В данной схеме используется два источника питания по 15 В каждый.

Выбор схемы для каждого каскада общего фильтра проводился на основании технического задания (обеспечить малую чувствительность к отклонениям номиналов элементов) с учётом достоинств и недостатков каждого типа схем фильтров, используемых в качестве каскадов общего фильтра.

Номиналы элементов схемы подбирались и рассчитывались таким образом, чтобы максимально приблизить их к стандартному номинальному ряду Е24, а также, чтобы получить при этом как можно большее входное сопротивление каждого каскада фильтра.

После моделирования схемы фильтра с помощью пакета ElectronicsWorkbench5.0 (рис.5.1) были получены частотные характеристики (рис.5.2), имеющие требуемые параметры, приведённые в техническом задании (рис.2.2).

К достоинствам данной схемы можно отнести простоту настройки всех параметров фильтра, независимую настройку каждого каскада отдельно, малую чувствительность к отклонениям от номиналов элементов.

Недостатками является использование в схеме фильтра трёх операционных усилителей и соответственно его повышенная стоимость, а также относительно невысокое входное сопротивление (порядка 50 кОм).

Список использованной литературы

1. Зеленин А.Н., Костромицкий А.И., Бондарь Д.В. – Активные фильтры на операционных усилителях. – Х.: Телетех, 2001. изд. второе, исправ. и доп. – 150 с.: ил.

2. Резисторы, конденсаторы, трансформаторы, дроссели, коммутационные устройства РЭА: Справ./Н.Н. Акимов, Е.П. Ващуков, В.А. Прохоренко, Ю.П. Ходоренок. – Мн.: Беларусь, 2004. – 591 с.:ил.

Аналоговые интегральные схемы: Справ./А.Л. Булычёв, В.И. Галкин, 382 с.: В.А. Прохоренко. – 2-е изд., перераб. и доп. – Мн.: Беларусь, 1993. – черт.